Courbe de filature

[BiZi]

Bonjour,

Voici l'énoncé qui me pose problème:

"Un homme, modélisé par un point, est au centre d'un cercle de rayon 1.
Autour du cercle, il y a un lion, qui ne peut pénétrer le cercle. Sa trajectoire est superposée au bord du cercle. Sa vitesse de déplacement est de 4 fois celle de l'homme.
L'homme doit atteindre le bord du cercle avant le lion.

Peut-il y arriver ?
Quelle sera sa trajectoire ?
Quelle est la vitesse maximum du lion pour que l'homme s'en sorte ?"

Je pense que l'homme a intérêt à rester toujours aligné avec le centre du cercle et l'endroit où se trouve le lion; ainsi, quand le lion parcourt une portion de cercle correspondant à un angle théta, la position de l'homme varie aussi d'un angle théta; de plus l'homme parcourt une distance quatre fois inférieur à celle parcourue par le lion. Ces deux propriétés suffisent à priori pour caractériser le mouvement de l'homme, mais en pratique je ne vois pas comment exprimer la distance entre le centre du cercle et l'homme en fonction de l'angle et de la vitesse....

Par la suite, j'ai fait des recherches sur internet et je suis tombé la-dessus:
http://www.mathcurve.com/courbes2d/filature/filature.shtml

Apparemment, c'est un problème très classique, et assez difficile à exprimer. Mais comme dans mon problème il s'agit d'un cas très particulier de la courbe de filature, vu que le lion reste sur un cercle bien déterminé et avance à vitesse constante, je suppose que ca doit être plus simple à résoudre que dans le cas général.

Merci d'avance de m'éclairer!

[flaja]

bonsoir,
je ne pense que ce soit un problème de filature : il n'y a pas de point remarquable.

Pour la solution optimale, il faut que le lion hésite toujours entre tourner d'un côté ou de l'autre.

Tant que l'homme est dans un cercle de rayon < 1/4, il peut toujours se mettre à l'opposé du lion, puisque sa vitesse angulaire est supérieure : ce sera son meilleur point de départ.
Comme l'homme n'a plus que 3/4 à parcourir et le lion Pi, il arrivera avant le lion, même en trajet radial.

Il doit partir de ce point radialement (à l'opposé du lion), ensuite,
selon le sens de rotation du lion, il doit obliquer sa trajectoire à l'opposé du lion ??? sans que celui-ci ait intérêt à faire demi-tour pour le rejoindre plus vite.

L'homme peut alors se diriger vers le point du cercle opposé au lion, mais je n'ai pas l'impression que ce soit l'optimum.