Loi de la réfraction - Principe de Fermat - Courbe brachisto

[Maks]

Bonjour à tous !
Je viens dans cette chère partie physique pour demander un peu d'aide ...
En fait, j'aimerais réussir à montrer le résultat célèbre qui dit que :

La trajectoire de plus courte durée d'un mobile laché sans vitesse initiale d'un point A à un point B d'altitude plus basse est la courbe dite "brachistochrone".

(brakhisto : le plus court).

Je me suis rendu sur la page Wikipédia correspondante, et il s'avère que deux démonstrations sont proposées. La démonstration historique m'a l'air la plus abordable à mon niveau (Maths Spé). Elle fait une analogie avec les trajets lumineux. Seulement, elle fait appel à une relation qui ne me semble pas triviale :



où représente l'angle par rapport à la verticale, et v la vitesse du photon. Y a t'il un moyen simple et rapide de montrer cette relation ? Je suis bien allé sur la page du principe de Fermat, qui semble être la solution, mais je n'ai pas trouvé mon bonheur (l'équation d'Euler-Lagrange m'est totalement inconnue).

Sinon, pour la courbe brachistochrone, je suis ouvert à toute autre proposition de démonstration abordable à mon niveau !

Merci d'avance pour vos conseils.

[Zweig]

Salut,

Je crois que c'est ce dont il s'agit dans ce PDF, pages 39-40 : http://pruno.dagen.free.fr/Math%E9matiques/E-books%20de%20Math%E9matiques/G%E9om%E9trie/Maxima_and_Minima.pdf

[Maks]

Oui, en effet. C'est une méthode que j'avais déjà vue, et je pense qu'en fait, c'est la plus simple. Merci encore !

Au fait, tu as fait tous les problèmes du PDF ? :hein:

[Zweig]

Une bonne partie, je l'utilisais lorsque je m'entraînais pour les OIM.

[Maks]

Ok, ça représente un nombre conséquent d'exercices en tout cas ... Tu entres en MPSI ?

[Zweig]

Oui, au lycée Fabert en Metz.

[Maks]

Ok ! Ben bon courage :++: Pour ma part, je vais entamer une 5/2 au Lycée Henri Wallon de Valenciennes, en MP*.