Vecteurs Et Equation De Droite...

[stephane61]

Bonjour,

Je suis en seconde et j'ai un dm à faire pour réviser pour le prochain devoir commun. Pouvez-vous me dire si cet exercice est bon SVP. En fait, je pense que mes résultats sont bons mais je ne sais pas si mon résonnement est toujours clair ou si j'utilise la bonne méthode.

EXERCICE 4

Soit (O.I.J) un repère orthonormé du plan.

1. Placer sur l'Annexe les points : A(-5;0) ; B(1;2) ; C(-3;-6) et D(2;-1)

http://imagesia.com/dmvac-002_j0i6

2. a) Déterminer la nature du triangle ABD. Justifier.

ABD semble être un triangle rectangle en B.

AB=racine carré de (xb-xa)²+(yb-ya)²
AB=racine carré de (1-(-5))²+(2-0)²
AB=racine carré de 6²+2²
AB=racine carré de 36+4
AB=racine carré de 40

BD=racine carré de (xd-xb)²+(yd-yb)²
BD=racine carré de (2-1)²+(-1-2)²
BD=racine carré de 1²+(-3)²
BD=racine carré de 1+9
BD=racine carré de 10

AD=racine carré de (xd-xa)²+(yd-ya)²
AD=racine carré de (2-(-5))²+(-1-0)²
AD=racine carré de 7²+(-1)²
AD=racine carré de 49+1
AD=racine carré de 50 donc AD²=racine carré de 50²=50

AB²+BD²=racine carré de 40²+ racine carré de 10²=40+10=50

AB²+BD²=AD² donc d'après la réciproque du théorème de pythagore ABD est un triangle rectangle en B.

b) Montrer que les vecteurs AC et BD sont colinéaires

vecteur AC|xc-xa=-3-(-5)=-3+5=2 ; yc-ya=-6-0=-6 vecteur AC|2;-6

vecteur BD|xd-xb=2-1=1 ; yd-yb=-1-2=-3 vecteur BD|1;-3

donc 2*(-3)-(-6)*1=-6-(-6)=-6+6=0
les vecteurs AC et BD sont colinéaires (et donc (AC) et (BD) sont parallèles)

c) Quel est la nature du quadrilatère ACDB. Justifier

On a vu en b) que les vecteurs AC et BD sont colinéaires et que (AC) et (BD) sont donc parallèles.
On vérifie si les vecteurs AB et CD sont colinéaires et donc // :

vecteur AB|xb-xa=1-(-5)=6 ; yb-ya=2-0=2

vecteur CD|xd-xc=2-(-3)=5 ; yd-yc=-1-(-6)=5

vecteur AB|6;2 différent de vecteur CD|5;5 donc (AB) et (CD) ne sont pas //.

ACDB est un trapèze car deux côtés // (AC) et (BD) et deux côtés non // (AB) et (CD).

3) Déterminer par le calcul les coordonnées des points k, L milieux respectifs des segments [AC] et [BD]. Placer ces points sur le graphique

xk= (-5+(-3))/2=-8/2=-4

yk=(0+(-6)/2=-6/2=-3

K(-4;3)

xL=(1+2)/2=3/2=1.5
yL=(2+(-1)/2=1/2=0.5

L=(1.5;0.5)

4. a) Déterminer algébriquement une équation de la droite (CD)

C(-3;-6) D(2;-1)

xc différent de xd donc (CD) pas // à l'axe des ordonnées donc l'équation est du type y=mx+p

m=(yd-yc)/(xd-xc)=(-1-(-6))/2-(-3)=5/5=1
donc y=1x+p

-1=1*2+P
-1=2+P
-1-2=P
-3=P

Conclusion équation de (CD) y=x-3

b) Montrer que la droite (AB) admet pour équation : y=1/3x+5/3

m=(yb-ya)/(xb-xa)=(2-0)/(1-(-5))=2/6=1/3

donc y=1/3x+P

2=1/3*1+p
2=1/3+p
2-1/3=p
5/3=p

Conclusion : équation de (AB) est bien y=1/3x+5/3

5. a) Résoudre le système suivant : {y=x-3 ; y=1/3x+5/3

Résoudre cette équation c'est calculer les coordonnées du point d'intersection des droites (CD) et (AB).

x-3=1/3x+5/3
-3=1/3x+5/3-x
-3=-2/3x+5/3
-3-5/3=-2/3x
-14/3=-2/3x
(-14/3)/(-2/3)=x
7=x

y=7-3
y=4

Les droites (CD) et (AB) se coupent au point (7;4)

b) Interpréter graphiquement le résultat de la question 5. a). Faire les tracés correspondant sur le graphique.

Les droites (CD) et (AB) sont sécantes en (7;4) => là je ne comprends pas car j'ai déjà répondu la même chose à la question d'avant ???

Quand j'ai pris la photo et l'ai postée sur le forum je n'avais pas encore tracé les droites sécantes en M mais c'est fait.

c) Placer le point M de coordonnées (7;4). Montrer que les point K,L et M sont alignés.

K(-4;-3) L(1.5;0.5) M(7;4)

xk différent de xL donc (KL) a un coefficient directeur.
m=(yL-yK)/(xL-xK)=(0.5-(-3)/(1.5-(-4))=3.5/5.5=0.64

xK différent de xM dont (KM) a un coefficient directeur
m'=(yM-yK)-(xM-xK)=(4-(-3))/(7-(-4))=7/11=0.64

m=m' K,L M sont alignés

Gros merci d'avance à ceux qui m'aideront car il est long.

[Manny06]

Bonjour,

Je suis en seconde et j'ai un dm à faire pour réviser pour le prochain devoir commun. Pouvez-vous me dire si cet exercice est bon SVP. En fait, je pense que mes résultats sont bons mais je ne sais pas si mon résonnement est toujours clair ou si j'utilise la bonne méthode.

EXERCICE 4

Soit (O.I.J) un repère orthonormé du plan.

1. Placer sur l'Annexe les points : A(-5;0) ; B(1;2) ; C(-3;-6) et D(2;-1)

http://imagesia.com/dmvac-002_j0i6

2. a) Déterminer la nature du triangle ABD. Justifier.

ABD semble être un triangle rectangle en B.

AB=racine carré de (xb-xa)²+(yb-ya)²
AB=racine carré de (1-(-5))²+(2-0)²
AB=racine carré de 6²+2²
AB=racine carré de 36+4
AB=racine carré de 40

BD=racine carré de (xd-xb)²+(yd-yb)²
BD=racine carré de (2-1)²+(-1-2)²
BD=racine carré de 1²+(-3)²
BD=racine carré de 1+9
BD=racine carré de 10

AD=racine carré de (xd-xa)²+(yd-ya)²
AD=racine carré de (2-(-5))²+(-1-0)²
AD=racine carré de 7²+(-1)²
AD=racine carré de 49+1
AD=racine carré de 50 donc AD²=racine carré de 50²=50

AB²+BD²=racine carré de 40²+ racine carré de 10²=40+10=50

AB²+BD²=AD² donc d'après la réciproque du théorème de pythagore ABD est un triangle rectangle en B.

b) Montrer que les vecteurs AC et BD sont colinéaires

vecteur AC|xc-xa=-3-(-5)=-3+5=2 ; yc-ya=-6-0=-6 vecteur AC|2;-6

vecteur BD|xd-xb=2-1=1 ; yd-yb=-1-2=-3 vecteur BD|1;-3

donc 2*(-3)-(-6)*1=-6-(-6)=-6+6=0
les vecteurs AC et BD sont colinéaires (et donc (AC) et (BD) sont parallèles)

c) Quel est la nature du quadrilatère ACDB. Justifier

On a vu en b) que les vecteurs AC et BD sont colinéaires et que (AC) et (BD) sont donc parallèles.
On vérifie si les vecteurs AB et CD sont colinéaires et donc // :

vecteur AB|xb-xa=1-(-5)=6 ; yb-ya=2-0=2

vecteur CD|xd-xc=2-(-3)=5 ; yd-yc=-1-(-6)=5

vecteur AB|6;2 différent de vecteur CD|5;5 donc (AB) et (CD) ne sont pas //.

ACDB est un trapèze car deux côtés // (AC) et (BD) et deux côtés non // (AB) et (CD).

3) Déterminer par le calcul les coordonnées des points k, L milieux respectifs des segments [AC] et [BD]. Placer ces points sur le graphique

xk= (-5+(-3))/2=-8/2=-4

yk=(0+(-6)/2=-6/2=-3

K(-4;3)

xL=(1+2)/2=3/2=1.5
yL=(2+(-1)/2=1/2=0.5

L=(1.5;0.5)

4. a) Déterminer algébriquement une équation de la droite (CD)

C(-3;-6) D(2;-1)

xc différent de xd donc (CD) pas // à l'axe des ordonnées donc l'équation est du type y=mx+p

m=(yd-yc)/(xd-xc)=(-1-(-6))/2-(-3)=5/5=1
donc y=1x+p

-1=1*2+P
-1=2+P
-1-2=P
-3=P

Conclusion équation de (CD) y=x-3

b) Montrer que la droite (AB) admet pour équation : y=1/3x+5/3

m=(yb-ya)/(xb-xa)=(2-0)/(1-(-5))=2/6=1/3

donc y=1/3x+P

2=1/3*1+p
2=1/3+p
2-1/3=p
5/3=p

Conclusion : équation de (AB) est bien y=1/3x+5/3

5. a) Résoudre le système suivant : {y=x-3 ; y=1/3x+5/3

Résoudre cette équation c'est calculer les coordonnées du point d'intersection des droites (CD) et (AB).

x-3=1/3x+5/3
-3=1/3x+5/3-x
-3=-2/3x+5/3
-3-5/3=-2/3x
-14/3=-2/3x
(-14/3)/(-2/3)=x
7=x

y=7-3
y=4

Les droites (CD) et (AB) se coupent au point (7;4)

b) Interpréter graphiquement le résultat de la question 5. a). Faire les tracés correspondant sur le graphique.

Les droites (CD) et (AB) sont sécantes en (7;4) => là je ne comprends pas car j'ai déjà répondu la même chose à la question d'avant ???

Quand j'ai pris la photo et l'ai postée sur le forum je n'avais pas encore tracé les droites sécantes en M mais c'est fait.

c) Placer le point M de coordonnées (7;4). Montrer que les point K,L et M sont alignés.

K(-4;-3) L(1.5;0.5) M(7;4)

xk différent de xL donc (KL) a un coefficient directeur.
m=(yL-yK)/(xL-xK)=(0.5-(-3)/(1.5-(-4))=3.5/5.5=0.64

xK différent de xM dont (KM) a un coefficient directeur
m'=(yM-yK)-(xM-xK)=(4-(-3))/(7-(-4))=7/11=0.64

m=m' K,L M sont alignés

Gros merci d'avance à ceux qui m'aideront car il est long.

tout me semble correct par contre évite les valeurs approchées

xk différent de xL donc (KL) a un coefficient directeur.
m=(yL-yK)/(xL-xK)=(0.5-(-3)/(1.5-(-4))=3.5/5.5=0.64 3.5/5.5=3.5x2/5.5x2=7/11

xK différent de xM dont (KM) a un coefficient directeur
m'=(yM-yK)-(xM-xK)=(4-(-3))/(7-(-4))=7/11=0.64 le coefficient directeur est 7/11

les points K,L,M sont donc alignés

[tatou]

Bonjour je suis en seconde et je ne sais pas comment répondre a mon exos pouvez vous m'aidé ?
Les points A (1;-1) B(-1 ; -2 ) et C(-2;2)
a) Déterminé les coordonées de G vérifiant
GA + 2GB + GC = 0

Merci d'avance

[Manny06]

Bonjour je suis en seconde et je ne sais pas comment répondre a mon exos pouvez vous m'aidé ?
Les points A (1;-1) B(-1 ; -2 ) et C(-2;2)
a) Déterminé les coordonées de G vérifiant
GA + 2GB + GC = 0

Merci d'avance

pourquoi ne pas faire un post personnel ?

[stephane61]

Bonjour Manny06, Merci beaucoup de m'avoir répondu et d'avoir pris le temps de vérifier mon exercice.