Vecteurs Coplanaires

[TheClo]

Bonjour, on a commencé un nouveau chapitre en maths: La géométrie dans l'espace, et après seulement un exercice d'entraînement la prof nous a donné un DM. Autant dire que je galère pour l'exercice 2 de ce DM sur les vecteurs coplanaires.

ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [BF] et K le milieu de [BC].
1) Démontrer que les vecteurs IJ, BG, DG sont coplanaires.
2) Les vecteurs EB,AK,AG sont-ils coplanaires?
3) Les vecteurs AF, u=AC+3/2AE, v=AD+2AE sont-ils coplanaires?

Voilà, j'ai beaucoup recherché dans mes bouquins de maths, mais à chaque exercice il y a une méthode différente, du coup je ne sais pas qu'est ce qu'il faut faire.

Merci de m'aider :)

[TheClo]

Alors je pense avoir trouvé pour la question 1 mais je ne suis pas du tout sûre.
J'ai dit:
1) Les vecteurs IG et DG sont parallèles donc on en déduit qu'ils sont coplanaires, de plus les vecteurs BG et DG sont sécants, ils sont donc également coplanaires. Ainsi puisque IJ et DG sont coplanaires et BG et DG sont coplanaires, on peut dire que les vecteurs IJ, DG et BG sont coplanaires.

Quelqu'un peut-il me dire si c'est juste ou non? Faut-il justifier que les vecteurs sont parallèles et sécants? Est ce que écrire un texte suffit-il dans ce genre de question?

Par contre pour la 2) et la 3) je n'ai pas d'idée :mur:

Merci:

[Joker62]

Bonsoir,

Deux vecteurs sont toujours coplanaires (vu qu'ils engendrent un plan) (Tout comme deux points sont toujours alignés...)

La question c'est est-ce-que trois vecteurs sont coplanaires ?

Pour ça, on a un théorème :
u,v,w trois vecteurs. Alors ils sont coplanaires si on peut trouver deux réels x et y tels que



De la même façon, des vecteurs sécants, ça n'a pas de sens.

[TheClo]

Bonjour! Merci de m'avoir répondu.
Cependant je ne comprend toujours pas comment résoudre cet exercice, comment est ce que je peux trouver x et y? Quels calculs dois-je faire?

[Joker62]

Re !

Par exemple pour la 1)



Donc les vecteurs IJ, DG et BG sont coplanaires car on a pu trouver deux réels x = 1/2 et y = 0
tels que IJ = xDG + yBG

[TheClo]

Re-bonjour, maintenant que vous me le dîtes ça parait logique, mais ça ne me serait jamais venue à l'esprit si j'avais été seule, c'est mon gros problème en géométrie...
Du coup, je suis toujours embêté pour la question 2 et la question 3...
Faut-il procéder de la même façon?

Merci :)

[Joker62]

Bonsoir,

Tu peux dire "tu" :)

La géométrie dans l'espace, c'est beaucoup d'entraînement et d'exercices qui se ressemblent.
Pour la deux, c'est pareil.

Sauf que c'est moins visuel et on a même envie de dire qu'ils ne le sont pas.

Je te conseille de te placer dans le repère (A,AB,AD,AE) et de déterminer les coordonnées de chacun des points pour ensuite traduire cette égalité EB = xAK + yAG

[TheClo]

Bonsoir,

Est ce que tu peut confirmer pour les vecteurs que je trouve?
A(0,0,0) B(1,0,0) K(1,1/2,0) E(0,0,1) G(1,1,1)
EB(1,0,-1)
AK(1,1/2,0)
AG(1,1,1)

Est-ce juste?

Merci de ton aide en tout cas ;)

[Joker62]

Parfait !

Maintenant, est-ce-que tu peux trouver x et y réels tels que ... ?

[TheClo]

Pour le 2) Je trouve que c'est impossible, donc ils ne sont pas colinéaire?
Je fais la même chose pour la question 3)?

[TheClo]

Enfaite pour la 3) j'ai fait la même méthode que pour la 2)
c'est-à-dire que j'ai calculé les coordonnées de AF, AC, AE, AD et grâce à ces coordonnées, j'ai trouvés les coordonnées de u(1,1,3/2) et v(0,1,2)
Est ce que tu peux confirmer?
Est ce que tu peut me dire si tu trouves que ces trois vecteurs sont coplanaires?

Merci :)

[Joker62]

Pour la 2) moi ça me donne :

1 = x + y
0 = 1/2*x + y
-1 = y

Donc y = -1
x = 2

Et quand on vérifie la deuxième, on a :1/2*2 - 1 = 1 - 1 = 0

Donc le système à une solution. On a donc EK = 2AK - AG et ils sont colinéaires.

[TheClo]

Ah! On doit donc partir de

EB= xAK+yAG et continuer avec le système!

Enfaite moi j'ai chercher a, b et c tels que au+bv+cw=0
mais ça ne m'a rien donné, on a jamais fait d'exemple avec cette formule....


Pour la 3) on fait comment alors? PAreil?