Variation du carré du fonction

[Inscription]

Bonjour,
J'ai la fonction "f(x) = x^3 + x² + 5x - 7". Je dois dresser le tableau de variations de la fonction "k(x) = (x^3 + x² + 5x - 7)²" qui est définie sur lR en utilisant les fonctions de référence et le fait que j'ai le signe de f'(x) et les variations de f(x). Je ne sais pas comment faire, pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance !

[paquito]

f'(x)=x^2/3+2x+5, fonction du 2° degré dont on sait étudier le signe; Delta=4-4*5*(1/3)=-8/3<0 donc f' est toujours>0; donc f est strictement croissante.
Quand à (f(x))², tu as k'(x)=2(f'x)f(x), du signe de f(x) qui s'annule une seule fois pour un réel x0;
donc k est décroissante pour xx0 et atteint un minimum en x0; (le calcul de x0 est hors programme; la calculatrice donne x0=1, ce qui est un coup de chance; vérifie que f(1)=0);
Tu as tous les éléments. (On aura forcément k(1)=0!).

[Inscription]

f'(x)=x^2/3+2x+5, fonction du 2° degré dont on sait étudier le signe; Delta=4-4*5*(1/3)=-8/30; donc f est strictement croissante.
Quand à (f(x))², tu as k'(x)=2(f'x)f(x), du signe de f(x) qui s'annule une seule fois pour un réel x0;
donc k est décroissante pour xx0 et atteint un minimum en x0; (le calcul de x0 est hors programme; la calculatrice donne x0=1, ce qui est un coup de chance; vérifie que f(1)=0);
Tu as tous les éléments. (On aura forcément k(1)=0!).

Ma professeur ne veut pas que nous dérivions la fonction f(x) pour répondre à la question

[Robic]

Ma professeur ne veut pas que nous dérivions la fonction f(x) pour répondre à la question

Tu veux dire k(x), n'est-ce pas ?

Pourrais-tu nous dire ce que tu sais sur f et f' ? C'est sûrement très important.

Bon, allez, je fais les calculs...

... ... ... ...

OK, f est strictement croissante de -oo à +oo et admet une racine réelle, x = 1.

- Sur ]-oo ; 1] f est croissante et négative. Qu'est-ce que tu peux en déduire pour les variations de f² ?
- Sur [1 ; +oo[ f est croissante et positive. Qu'est-ce que tu peux en déduire pour les variations de f² ?

Rappel : f est croissante si a<=b entraîne que f(a)<=f(b). Pour vérifier le sens de variation de f², tu peux donc comparer [f(a)]² et [f(b)]² en sachant que tu sais comparer f(a) et f(b) et que tu connais leur signe.

Par exemple si on choisit a<=b dans ]-oo ; 1], on aura a <= b <=1 et (par croissance de f) : f(a) <= f(b) <= 0. Que peut-on en déduire pour [f(a)]² et [f(b)]² ?

[Inscription]

Tu veux dire k(x), n'est-ce pas ?

Pourrais-tu nous dire ce que tu sais sur f et f' ? C'est sûrement très important.

Bon, allez, je fais les calculs...

... ... ... ...

OK, f est strictement croissante de -oo à +oo et admet une racine réelle, x = 1.

- Sur ]-oo ; 1] f est croissante et négative. Qu'est-ce que tu peux en déduire pour les variations de f² ?
- Sur [1 ; +oo[ f est croissante et positive. Qu'est-ce que tu peux en déduire pour les variations de f² ?

Rappel : f est croissante si a<=b entraîne que f(a)<=f(b). Pour vérifier le sens de variation de f², tu peux donc comparer [f(a)]² et [f(b)]² en sachant que tu sais comparer f(a) et f(b) et que tu connais leur signe.

Par exemple si on choisit a<=b dans ]-oo ; 1], on aura a <= b <=1 et (par croissance de f) : f(a) <= f(b) <= 0. Que peut-on en déduire pour [f(a)]² et [f(b)]² ?

Merci pour votre aide, je n'avais pas pensé à regarder où f(x) changeait de signe.
Oui, pardon. f(x) est toujours croissante, f'(x) est toujours positive. Sur ]-;) ; 1[, f² est décroissante est positive. Sur ]1 ; +;)[, f² est croissante et positive. Dans ]-;) ; 1], si a b 1, f(a) f(b) 0 alors [f(a)]² [f(b)]² ?

[Robic]

Je crois que c'est ça (la dernière ligne me semble juste, et permet de démontrer ce que tu affirmes plus haut).

Je pense que tu n'as pas besoin de dire que f² est positive (c'est évident). Il faut juste indiquer sa valeur minimale dans le tableau de variation.

[paquito]

f est négative et croissante sur l'intervalle )-inf; 1) donc f² est décroissante sur cet intervalle; f est positive et croissante sur (1; +inf( donc f² est croissante sur cet intervalle et donc f²(1)=0 est le minimum absolu de f². programme le graphe de f(X) sur ta calculatrice à titre de vérification.
Il me semble que tu as permuté les intervalles

[Inscription]

Je crois que c'est ça (la dernière ligne me semble juste, et permet de démontrer ce que tu affirmes plus haut).

Je pense que tu n'as pas besoin de dire que f² est positive (c'est évident). Il faut juste indiquer sa valeur minimale dans le tableau de variation.

D'accord, merci beaucoup :happy3:

[Inscription]

f est négative et croissante sur l'intervalle )-inf; 1) donc f² est décroissante sur cet intervalle; f est positive et croissante sur (1; +inf( donc f² est croissante sur cet intervalle et donc f²(1)=0 est le minimum absolu de f². programme le graphe de f(X) sur ta calculatrice à titre de vérification.
Il me semble que tu as permuté les intervalles

J'ai bien dit que (f(x))² et donc k(x) est décroissante de moins l'infini à un et croissance de un à plus l'infini car f(x) est négative sur le premier intervalle et positive sur le second. Ma calculatrice m'indique bien que k(x) est décroissante puis croissante et qu'elle a un minimum pour x=1 :happy2:

[paquito]

[quote="Inscription"]J'ai bien dit que (f(x))² et donc k(x) est décroissante de moins l'infini à un et croissance de un à plus l'infini car f(x) est négative sur le premier intervalle et positive sur le second. Ma calculatrice m'indique bien que k(x) est décroissante puis croissante et qu'elle a un minimum pour x=1

OK, j'ai lu trop vite!

[Inscription]

J'ai bien dit que (f(x))² et donc k(x) est décroissante de moins l'infini à un et croissance de un à plus l'infini car f(x) est négative sur le premier intervalle et positive sur le second. Ma calculatrice m'indique bien que k(x) est décroissante puis croissante et qu'elle a un minimum pour x=1

OK, j'ai lu trop vite!

Pas de problème :happy2: