Valeur Absolue et Logique

[darkode]

|(a+b)/2 | + | ( a - b ) / 2 | < c <=> |a| < c et |b| < c

j'arrive toujours au deux conclusions mais avec :< 2c
{ du genre |a| < 2c et |b| < 2c et |(a+b)/2 | + | ( a - b ) / 2 | < 2 c }

Aurais je fais une faute de manœuvre à une certaine ligne ?

[Luc]

Salut,

|(a+b)/2 | + | ( a - b ) / 2 | |a| < c et |b| < c

Tu peux vérifier que l'expression de gauche vaut toujours max(|a|,|b|) en considérant tous les cas possibles (a et b positifs, a positif et b négatif, les autres s'en déduisant par symétrie).
Donc l'équivalence est bien vraie.
Ici l'inégalité triangulaire ne fonctionne pas car si les majorations individuelles sont bonnes a priori, les majorations combinées des deux termes ne sont pas du tout optimales. (on ne peut pas être à la fois dans les deux cas d'égalité).

[darkode]

J'ai oublié de Préciser que :

( a,b) € R et c € R+

d'où ma démo :

Pour démontrer , j'ai commencé de gauche à droite :
|(a+b)/2 | + | ( a - b ) / 2 | < c => |a| < c et |b| < c


|(a+b)/2 | + |(a-b)/2 | < c

donc |(a+b)/2 | < c et |(a-b)/2 | < c

donc on joue avec les variables , puis on tombe sur


|a| < 2c et |b| < 2c

et si on part de droite a gauche |a| < c et |b| < c => |(a+b)/2 | + | ( a - b ) / 2 | < c

on tombe toujours sur |(a+b)/2 | + | ( a - b ) / 2 | < 2c

Y'a t il une erreur de calcul ou une astuce ? :mur:

[Luc]

Y'a t il une erreur de calcul ou une astuce ?

Lis mon post précédent, ça devrait t'aller. Il n'y a pas d'erreur dans tes calculs, juste que ceux-ci ne permettent pas de conclure. Je t'ai expliqué pourquoi : tu utilises deux inégalités triangulaires qui ne peuvent pas être simultanément dans le cas d'égalité. Donc forcément l'inégalité obtenue n'est pas optimale. Alors que l'histoire du max(), c'est optimal.

[darkode]

L'histoire du max , je n'ai pas bien compris la procédure ...

Pourrais tu m'éclairer d'avantage si possible ?

[Luc]

Tu peux vérifier que l'expression de gauche vaut toujours max(|a|,|b|) en considérant tous les cas possibles (a et b positifs, a positif et b négatif, les autres s'en déduisant par symétrie).