Utilité de la notion de famille?

[alexis6]

Bonjour,

Si une famille est une application, pourquoi donner deux noms à une seule et même chose?

[mathelot]

voilà peu ou prou des "applications"

une forme
une forme linéaire
un opérateur
un foncteur
une projection
une fonction numérique
une proba
une famille
une collection
une injection, surjection, bijection
une suite
une flèche
un morphisme
etc..

dans la notation , c'est une notation de suites,
sauf que l'ensemble d'indices n'est pas, la plupart du temps, dénombrable.
Le recours aux "familles" se fait en théorie des ensembles, topologie, et
théorie de la mesure (tribus)

[alexis6]

voilà peu ou prou des "applications"

une forme
une forme linéaire
un opérateur
un foncteur
une projection
une fonction numérique
une proba
une famille
une injection, surjection, bijection
une suite
une flèche
un morphisme
etc..

dans la notation , c'est une notation de suites,
sauf que l'ensemble d'indices n'est pas, la plupart du temps, dénombrable.
Le recours aux "familles" se fait en théorie des ensembles, topologie, et
théorie de la mesure (tribus)

Mon problème, c'est que le terme indice prête à confusion. C'est un terme assez ambigu, ainsi en recherchant un peu sur sa signification en maths, voilà sur quoi je tombe:

" Le mot indice a en mathématiques des significations multiples. Certaines n'ont rien à voir entre elles, d'autres touchent des sujets si voisins qu'il y a parfois des confusions. Il y a néanmoins un point commun : l'indice en mathématiques est très souvent (mais pas toujours) un nombre entier. "

Ainsi dans l'acceptation générale, les indices sont des entiers.

Mais pour les familles, l'ensemble I des indices est un ensemble de nombres qui peuvent être entiers ou non. L'ensemble E des Xi peut être n'importe quoi. J'en déduis que l'ensemble des familles, c'est l'ensemble des applications d'un ensemble I de nombres, entiers ou non, vers un ensemble quelconque E. Ce sont donc des applications particulières.

Je trouve ça particulièrement lourd comme notation, et je ne vois toujours pas son utilité.

[mathelot]

pour les familles de nombres positifs

si

alors

est au plus dénombrable.

[Skullkid]

Bonjour, c'est juste plus agréable dans certains contextes de raisonner en termes de familles qu'en termes de fonctions.

En gros, quand on parle d'une famille, on met a priori l'accent sur les objets de la famille (= les images). Les indices (= les antécédents) servent juste à "étiqueter" les objets de la famille et les détails de cet étiquetage (= le graphe) sont relativement peu, voire pas du tout, importants. Quand on parle d'une fonction, c'est souvent le graphe qui est a priori le plus important.

Les indices d'une famille peuvent ne pas être des nombres, ils peuvent être n'importe quoi.