Une suite par récurrence

[CaptainNeko]

Bonjours ! et merci de vous intéresser à ce sujet

Alors voila l'exercice:
On considère la suite (Un) définie par et, pour tout entier n, par:

1) Démontrer par récurrence que pour tout n E N, Un > 0 :+:

2) a.Démontrer que pour tout n E N , :+:
b.En déduire que pour tout n E N , :+:
c.En déduire que pour tout n E N, :+:
d. Démontrer par récurrence que pour tout n E N*,
e. En déduire la limite de la suite (Un).

je bloque à partir de la c...si vous voulez bien me venir en aide, vous seriez vraiment gentils :we:

[titine]

Tu as montré que, pour tout n, Un - rac(2) > 0 donc Un > rac(2) donc 0 < 1/Un < 1/rac(2)
Avec le a) ça te donnera le résultat voulu.

[CaptainNeko]

excuse moi mais je ne comprend pas ce que je peut en faire de cette inéquation, quel rapport avec la question c ?

[titine]

1/Un < 1/rac(2)
donc (Un-rac(2))² * 1/Un < (Un-rac(2))² * 1/rac(2)
c'est à dire (Un-rac(2))²/Un < (Un-rac(2))²/rac(2)
Et 1/2 * (Un-rac(2))²/Un < 1/2 * (Un-rac(2))²/rac(2)
1/2 * (Un-rac(2))²/Un < (Un-rac(2))²/(2rac(2))
Comme Un+1 - rac(2) = 1/2 * (Un-rac(2))²/Un ....................

[CaptainNeko]

c'est beau quand même ! non ? merci beaucoup, je n'aurais pas trouvé seule , mon cerveaux est un peut embrouillé...

[CaptainNeko]

Et donc pour la question suivante, je comprend pas pourquoi ils demande n E N*, ça veut dire que je doit calculer U1 et faire l'initialisation au rang 1 ?

[busard_des_roseaux]

c.En déduire que pour tout n E N, Un+1-V2 <= 1/2 x ( Un - V2)² / V2
d. Démontrer par récurrence que pour tout n E N*, Un-V2 <= (U0-V2)²n / 2V2
e. En déduire la limite de la suite (Un).




(V2 = racine de 2 et à la fin c'est (Uo-V2) puissance 2n)

attention, c'est plus compliqué..



quand on traite cette inégalité récursivement, à chaque coup , on élève au carré,
ce qui multiplie l'exposant par 2, au final l'exposant est et non pas

[CaptainNeko]

:marteau: je ne comprend ce qu'il faut que je fasse... ça m'a l'air tellement compliqué, comment je pose le résonnement par récurrence dans ce cas ?
En plus la réponse à quelque chose à voir avec la déduction de la limite, donc la réponse doit correspondre au calcul d'une limite non ?