Une question qui m'intrigue

[Dinozzo13]

Bonjour, aujourd'hui, après quelque révision sur l'axes et le centre de symétrie d'une courbe représentative d'une fonction, je me suis posé deux questions où j'ai du mal à conclure.
Peut-on trouver une fonction qui admette, dans un repère orthogonal, à la fois un axe et un centre de symétrie. Et si, tel est tel cas, ce centre appartient-il cet axe ?

Mes idées :
Je sais que la représentation graphique d'une fonction dans un repère orthogonal admet pour axe de symétrie la droite d'équation si et seulement si pour tout de , on a :
et .
Ainsi que, cet même représentation graphique de admet le point de coorodnnées pour centre de symétrie si et seulement si pour tout de , on a :
et .
Me rappelant de certaines représentations graphiques de fonctions telles : affines, trinôme, polynome, homographique en passant par la trigonométrie : et . Mais j'en est très vite conclus que toutes les représentations graphiques de ces différentes fonctions n'admette uniquement qu'un axe ou un centre de symétrie. A partir de ça, j'en ai déduis qu'une fonction admet un axe et un centre de symétrie si et seulement la courbe d'une telle fonction appartient aux quatres quart de plans délimité par la droite d d'équation et une autre perpendiculaire à passant par le centre de symétrie de cette même fonction. Ainsi, je pense donc que si une fonction admet à la fois un axe et un centre de symétrie alors ce centre appartient nécessairement à cet axe. Or, d'après le cours de 2nde, on a vu qu'un antécédent à une seule image alors qu'une image à un antécédent. Par conséquent, il est donc impossible qu'une fonction admette à la fois un axe et un centre de symétrie.
Qu'en pensez-vous ?

[Hiphigenie]

Bonjour,

S'il faut en trouver une, je te propose la fonction élémentaire f définie par f(x) = k.

C'est simpliste, mais elle correspond à la question

Tout point de la forme (a;k) est un centre de symétrie et la droite d'équation x = a est un axe de symétrie comprenant ce point (a;k).

[Nightmare]

Salut !

Le graphe de la fonction sin est symétrique par rapport à l'origine du repère (la fonction est impaire) et symétrique par rapport à la droite d'équation x=pi/2 par exemple !

[Dinozzo13]

Ah oui ! pas bête, moi je m'étais centré sur la droite d'équation x=0 et l'origine du repère, merci :++:

[Ben314]

Je rajouterais que, réciproquement, si une fonction a un axe de symétrie vertical D et aussi un centre de symétrie C non situé sur l'axe alors le symétrique C' de C par rapport à D est encore centre de symétrie et, comme la courbe admet deux centres de symétrie, c'est qu'elle est périodique et qu'en fait elle admet une infinité de centre et d'axes de symétrie.

Tu peut "fabriquer" une telle fonction en partant de n'importe quoi pour f sur [0,a[ puis tu prend f(a)=b et f(x)=2b-f(2a-x) sur ]a,2a] [symétrie centrale de centre (a,b)] puis f(x)=f(4a-x) sur ]2a,4a] [symétrie axiale par rapport à la droite x=2a] en ensuite tu étend à R tout entier en complétant f pour qu'elle soit 4a-périodique.

[Dinozzo13]

Salut Ben :++:
Je viens de lire ce que tu m'as écrit et j'avoue ne pas avoir tout bien suivi, pourrais-tu m'expliquer un peu plus précisément au début et surtout la deuxième, car cette démonstration à l'air intéressante, merci d'avance :+++:

[Ben314]

Si tu veut fabriquer une courbe ayant un axe de symétrie et un centre de symétrie (non situé sur )
1) Tu trace une courbe quelconque entre et (si tu veut une fonction continue, tu trace une fonction continue QUI PASSE PAR )
2) Tu trace le symétrique de ce morceau de courbe par la symétrie centrale de centre .
3) Tu trace le symétrique de ces deux morceaux par la symétrie axiale d'axe
4) Tu trace tout les translatés des 4 morceaux déjà obtenus par des translations horizontales de longueur multiple de 4 fois la distance de à

Toutes les courbes ayant un axe et un centre de symétrie s'obtiennent de cette façon.