Une intégrale

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Dacu
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Une intégrale

par Dacu » 08 Juil 2018, 07:13

Bonjour à tous,

Montrer que est un nombre irrationnel.

Cordialement,

Dacu



pascal16
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Re: Une intégrale

par pascal16 » 08 Juil 2018, 09:20

à 7h de mat', J'en ai cassé ma biscotte

Pseuda
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Re: Une intégrale

par Pseuda » 08 Juil 2018, 10:06

Bonjour,

Si on a vu la division des polynômes (pas vu au niveau lycée), le dénominateur ne divise pas le numérateur (car les racines i et -i de l'un ne sont pas racines de l'autre).

Donc la fraction s'écrit : P + R/(x^2+1), avec P polynôme et R de degré <=1. On obtient du entier + ln + arctan entre 0 et 1 (pas vu au niveau lycée). A terminer... (pas le courage).

aviateur
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Re: Une intégrale

par aviateur » 08 Juil 2018, 10:46

Bonjour
Comme on est en 2018, tu peux poser la même question en remplaçant 2009 par 2018 et irrationnel par rationnel.

aymanemaysae
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Re: Une intégrale

par aymanemaysae » 11 Juil 2018, 11:06

Bonjour ;

On a :



et



donc :





Donc la fonction polynomiale définie sur et d'expression algébrique : n'admet pas i comme racine .

Et comme cette fonction polynomiale est paire , donc elle n'admet pas aussi - i comme racine , donc (1 + x²) ne la divise pas .

On a :



et



donc :





donc :



avec et , donc on a :

Conclusion :



: avec

donc : est un nombre irrationnel .
Modifié en dernier par aymanemaysae le 11 Juil 2018, 15:33, modifié 1 fois.

aviateur
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Messages: 1846
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Re: Une intégrale

par aviateur » 11 Juil 2018, 12:00

Bonjour
Pour être encore plus direct, il n'est pas besoin de faire autant de calcul, il faut tenir compte de l'indication de @pseuda qui dit que la réponse dépend de la connaissance du reste.
Or ce reste est effectivement une constante a (du fait de la parité du num. et du dénom) et
La rationalité (ou non rationalité ) de l'intégrale est égal à la rationalité (ou non) de
Maintenant c'est évident que l'argument de
Donc la réponse dépend de la congruence de n modulo 4 (ou seulement 2).
Remplacer 2009 par 2018 ne change pas le travail (mais seulement la réponse).

Pseuda
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Re: Une intégrale

par Pseuda » 11 Juil 2018, 13:08

Bonjour,

Cela donne (sauf erreur) , avec . Encore faut-il discuter de l'irrationalité de selon les valeurs de n. C'est immédiat pour n=2009.

aymanemaysae
Habitué(e)
Messages: 824
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Re: Une intégrale

par aymanemaysae » 11 Juil 2018, 15:34

Bonjour ;


Merci pour vos remarques pertinentes : je viens de les prendre en considérations .

 

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