Df d'une fonction

[nada-top]

bonjour,
j'ai lancé ce matin un coup d'oeil sur les racines n-ème mais je crois que j'ai un petit soucis avec de cette fonction :
est-ce (la fonction est définie sur si est impair ) ou c'est ??

[Huit]

Bonjour
Il me semble que tu réponds toi même à ta question grâce à ce que tu as dis entre parenthèse ;)

[nada-top]

Il me semble que tu réponds toi même à ta question grâce à ce que tu as dis entre parenthèse

et bien c'est de là ma question, je sais que est définie sur si est impair .. mais on dirait pas ça si on voit les questions qui suivent par ex:
-démontrer la continuité de sur .. or il est ecrit dans mon livre que est continue sur :doh: donc est continue sur et non pas sur

[nada-top]

enfin je crois avoir trouvé soit une preuve soit une grosse erreur...il s'agit d'un exo presque similaire avec un corrigé :
(il s'agit de résoudre cette équation mais c'est pas ça notre histoire)
1) déterminer .
alors moi je dirais directement car la seule condition qu'il faut suffir c'est ...
mais voici leur résonnement :
et par chance ça donne toujours car ...donc la question maintenant , pourquoi ont-ils considéré la condition de ?? :look_up:

[Sdec25]

Salut
Comme la fonction "cube" est bijective, il existe une fonction réciproque "racine cubique".
Définie de cette façon, l'ensemble de définition est R.

Si on définit cette fonction avec exp et ln, alors dans ce cas elle est définie sur R.
Mais on peut très bien dire que si et si

Je ne sais pas quelle est la définition "officielle" mais quel est l'intérêt de trouver l'ensemble de définition ? Tout dépend de ce que l'on veut faire avec cette fonction.

[nada-top]

Salut Sdec25 :happy2:

Je ne sais pas quelle est la définition "officielle" mais quel est l'intérêt de trouver l'ensemble de définition ? Tout dépend de ce que l'on veut faire avec cette fonction

et bien l'intétêt de mon exo est de démontrer d'abord la continuité de sur or est continue sur (au fait c'est ce qui est ecrit ) et non pas sur

PS: qu'est-ce que tu penses de l'autre exo (corrigé)

[Sdec25]

Eh bien si on considère que la fonction racine cubique est définie sur R+ alors f est définie et continue sur [0,1]
Si la fonction racine cubique est continue sur R alors f est définie et continue sur R.

Dans le 2ème exercice il faut que car la racine sixième est définie sur
Que l'ensemble de définition de la racine cubique soit R ou R+ l'ensemble de définition de E est le même car un ensemble est inclu dans l'autre.
Tout dépend de ce qu'on appelle racine cubique. :we:

[nada-top]

Si la fonction racine cubique est continue sur R alors f est définie et continue sur R.

bien sur que est définie et continue sur puisque c'est une fonction monôme.
alors je peux comprendre que ..


non?

[nada-top]

Eh bien si on considère que la fonction racine cubique est définie sur R+ alors f est définie et continue sur [0,1]
Si la fonction racine cubique est continue sur R alors f est définie et continue sur R.

euh.."avec des si on met Paris dans une bouteille" ... mais c'est là la question est-ce vraiment la fonction racine cubique est continue sur R ou R+.
mais si on considère que l'énoncé du 1er exo est correct il faut que f soit continue sur R (car il est demandé de prouver la continuité de f sur ) donc la fonction racine cubique est continue sur R.
ALORS je me donne le droit de conclure que :


sinon pourquoi ??

[Sdec25]

Mes "si" servaient uniquement à différencier le cas où la racine est définie avec exp sur R+ de celui où elle est définie sur R, selon la définition de racine cubique qu'on choisit.

donc la fonction racine cubique est continue sur R

où est le problème dans ce cas ?

[nada-top]

d'abord j'ai pas compris ta difinition de tout à l'heure avec exp (j'ai pas encor vu) mais j'ai retenu l'essentiel

Si on définit cette fonction avec exp et ln, alors dans ce cas elle est définie sur R.

mais avec ça :

Mes "si" servaient uniquement à différencier le cas où la racine est définie avec exp sur R+ de celui où elle est définie sur R

puis-je comprendre qu'il n' y a pas une deffinition unique à la fonction racine cubique et pour l'étudier il faut differencier les 2 cas??! sinon je suis complétement perdue. :briques:

Citation:
donc la fonction racine cubique est continue sur R

où est le problème dans ce cas ?

tout simplement ..le probleme est que je suis pas sûre car j'ai supposé que si l'exo est correct cela est vrai

[Sdec25]

, dans le cas général

Pour tout réel a on peut calculer mais cette fonction n'est définie que sur

Pour les puissances entières c'est plus simple puisqu'on définit x^n par x.x...x (n fois) donc ça a un sens de calculer les puissances entières de nombres négatifs.
Et comme tu l'as dit les racines nièmes sont définies sur R pour n impair mais il faut différencier le cas où x est positif de celui où x est négatif si on les calcule avec exp et ln (cf post 5)

[nada-top]

désolée d'insister mais je comprends toujours pas la disjonction des cas avec exp.. mais peu importe on est d'accord si n est impair , f est définie sur R mais est-ce qu'elle est continue sur R ??
car avec ton 2eme Si tu n'as pas precisé

Si la fonction racine cubique est continue sur R alors f est définie et continue sur R.

:pi:

[Sdec25]

Tu as vu que est défini sur à cause du ln
Donc si on calcule la racine cubique elle ne peut être définie que sur

Mais comme la fonction "cube" est bijective il existe une fonction réciproque telle que

[nada-top]

donc en général est bijective de R vers R si n est impair et de R+ vers R+ si n est pair non?
POURTANT dans mon il livre ils ont généralisé de la sorte: "la fonction est bijective de R+ vers R+ et sa bijection reciproque est .(il n'y a pas de disjonction de cas pour la parité de n c'est ça qui me gène :hum: )

merci Sdec de tes précisions ... je dois partir mnt :dodo: je chercherais demain la definition avec exp peut etre je comprendrais mieux :we:
@+

[Sdec25]

Oui c'est ça.
Mais c'est plus simple de travailler uniquement sur R+*
D'une part parce que la fonction ln est définie sur R+* donc les fonctions x->x^a sont définies sur R+*
D'autre part parce que les fonctions racines nièmes sont impaires pour n impair : f(-x) = -f(x) donc on peut obtenir l'image de R- grâce à l'image de R+
A+

[nada-top]

salut,

oui ça sera plus simple d'étudier sur R*+ car ça sera valable soit n est pair soit impair , mais ai-je le droit de restreindre le domaine d'étude pour mon exo ?
par ex dire que et donc la fonction est continue sur !!! non je crois pas :triste:
en tous cas toute cette histoire de df et de continuité est pour le seul but de répondre à la question qui suit :
démontrer

alors soit = R ou [0,1] , f est toujours continue sur ...
mais je me demandais si l'intervalle de l'existence de c était inclus dans R mais pas dans !! alors là il faut bien préciser f est continue sur quel intervalle.


pour mon exo : j'ai posé et on a d'une part g est continue sur et d'autre part
donc selon TVI donc c'est ça??

PS : Ah oui Sdec j'ai compris maintenant ta déffinition avec exp et ... c vrai qu'on doit distinguer les cas car ln est définie seulement sur R*+.

[Sdec25]

Salut
Si tu cherches avec le TVI alors tu peux te contenter d'étudier la fonction sur [0,1]
Si on cherche d'autres valeurs il faudrait étudier sur R

[nada-top]

Si on cherche d'autres valeurs il faudrait étudier sur R

ok c'est ça ce que je voulais savoir .. :we:

[Sdec25]

De toute façon l'étude sur R n'est pas plus compliquée que l'étude sur R+, la fonction racine cubique est strictement croissante sur R

On peut aussi prolonger l'intervalle de définition pour étudier f sur R (la fonction "racine cubique" est impaire) :
sur
sur
sur
Mais bon autant considérer directement que f est définie sur R :we: