Re: Une équation

[Dacu]

Bon matin tout le monde,

Déterminer l'ensemble de toutes les valeurs du paramètre connaissant que l'équation a toutes les vraies racines.

Cordialement,

Dacu

[Black Jack]

Salut,

C'est quoi des "vraies racines" ?

Poser x³-3 = t³

(x²-3)² = x^4 - 6x² + 9 = t^6

L'équation devient alors : t² - 3a.t + 2a² = 0

(t - 2a).(t - a) = 0

t = a ou t = 2a

... pour poursuivre, il faudrait savoir ce que sont des "vraies racines".

[Dacu]

Salut,

C'est quoi des "vraies racines" ?

Poser x³-3 = t³

(x²-3)² = x^4 - 6x² + 9 = t^6

L'équation devient alors : t² - 3a.t + 2a² = 0

(t - 2a).(t - a) = 0

t = a ou t = 2a

... pour poursuivre, il faudrait savoir ce que sont des "vraies racines".

Bon matin,

L'équation initiale a 12 racines et donc nous devons trouver pour quelles valeurs du parametre , toutes les racines du l'équation appartiennent à l'ensemble des nombres réels ....

Cordialement,

Dacu

[Black Jack]

Salut,

Pas sûr de comprendre ce que tu veux ...
La résolution dans R de cette équation est simple.

Poser x²-3 = t³

(x²-3)² = x^4 - 6x² + 9 = t^6

L'équation devient alors : t² - 3a.t + 2a² = 0

(t - 2a).(t - a) = 0

t = a ou t = 2a

1°)
t=a
x² = a³ + 3

2°)
t=2a
x² = 8a³+3

Pour a = 0, il y a 2 solutions réelles distinctes : x = -3, x = 3 (racine chacune double)

Pour tout a > 0, il y a 4 solutions réelles distinctes : x = -V(a³ + 3) ; x = V(a³ + 3) ; x = -V(8a³ + 3) ; x = V(8a³ + 3)

[Lostounet]

Bon matin tout le monde,

Déterminer l'ensemble de toutes les valeurs du paramètre connaissant que l'équation a toutes les vraies racines.

Cordialement,

Dacu

Salut,
Je trouve un peu comme BlackJack.

Posons et .

Travaillons dans l'anneau R[X,Y,Z, a] muni de l'ordre lexicographique.
Considérons:




Calculons une base de Grobner de l'idéal . Les points d'annulation des forment une variété algébrique.
On trouve:




Factorisons :


Sauf si a = 0, le troisième facteur n'a que des racines complexes: en effet, si a = 0, z = 0
Sinon, on pose u = z/a pour constater que l'équation devient a^4 (u^4 + 3 u^3 + 7 u^2 - 12 u + 4) = 0 qui n'a visiblement aucune solution réelle.

Reste à examiner les cas z = 2a et z = a, qui sont faciles à traiter par substitution. Par exemple z = a donne:
puis on passe par qui fournit y (mais on peut s'arrêter à x bien entendu)

[Dacu]

Bon matin tout le monde,

Déterminer l'ensemble de toutes les valeurs du paramètre connaissant que l'équation a toutes les vraies racines.

Cordialement,

Dacu

Salut,
Je trouve un peu comme BlackJack.

Posons et .

Travaillons dans l'anneau R[X,Y,Z, a] muni de l'ordre lexicographique.
Considérons:




Calculons une base de Grobner de l'idéal . Les points d'annulation des forment une variété algébrique.
On trouve:




Factorisons :


Sauf si a = 0, le troisième facteur n'a que des racines complexes: en effet, si a = 0, z = 0
Sinon, on pose u = z/a pour constater que l'équation devient a^4 (u^4 + 3 u^3 + 7 u^2 - 12 u + 4) = 0 qui n'a visiblement aucune solution réelle.

Reste à examiner les cas z = 2a et z = a, qui sont faciles à traiter par substitution. Par exemple z = a donne:
puis on passe par qui fournit y (mais on peut s'arrêter à x bien entendu)

Bon matin,

Très correct! Ce problème vient d'un autre forum et j'ai raisonné différemment mais je suis finalement arrivé au fait que la bonne réponse est .
Le promoteur du problème dans ce forum m'a dit que mon raisonnement est erroné sans montrer ce fait.
Merci très beaucoup!

Cordialement,

Dacu

[Dacu]

Bon matin tout le monde,

Déterminer l'ensemble de toutes les valeurs du paramètre connaissant que l'équation a toutes les vraies racines.

Cordialement,

Dacu

Salut,
Je trouve un peu comme BlackJack.

Posons et .

Travaillons dans l'anneau R[X,Y,Z, a] muni de l'ordre lexicographique.
Considérons:




Calculons une base de Grobner de l'idéal . Les points d'annulation des forment une variété algébrique.
On trouve:




Factorisons :


Sauf si a = 0, le troisième facteur n'a que des racines complexes: en effet, si a = 0, z = 0
Sinon, on pose u = z/a pour constater que l'équation devient qui n'a visiblement aucune solution réelle.

Reste à examiner les cas z = 2a et z = a, qui sont faciles à traiter par substitution. Par exemple z = a donne:
puis on passe par qui fournit y (mais on peut s'arrêter à x bien entendu)

Bon matin,

Observation:
Si les quatre solutions complexes de l'équation où ne propose pas huit solutions pour vérifier l'équation , alors quelles sont les valeurs de "a" pour lesquelles l'équation a toutes les racines réelles?En d'autres termes, pour quelles valeurs de l'équation a aussi des racines complexes avec la partie imaginaire différente de zéro?
Merci très beaucoup!

Cordialement,

Dacu