Une équation

[Dacu]

Bonsoir à tous,

Un problème d'un autre forum:
Résoudre l'équation où .

Cordialement!

[WillyCagnes]

bsr,

solution pour x=y=0
sinon
si on divise par xy <>0 les 2 membres on obtient
(1/y+1/x)(1-1/y-1/x-1/xy) = 2400 >1

avec x et y appartient à N
or chacune des parenthèses est <=1 et leur produit<=1 en contradiction avec 2400

[bolza]

Bonsoir,

bsr,

solution pour x=y=0
sinon
si on divise par xy <>0 les 2 membres on obtient
(1/y+1/x)(1-1/y-1/x-1/xy) = 2400 >1

avec x et y appartient à N
or chacune des parenthèses est <=1 et leur produit<=1 en contradiction avec 2400

pas tout à fait, en fait si on divise par xy de chaque côté on obtient :
(1/xy)(x+y)(xy-x-y-1)=2204 ce qui donne
soit (1/y+1/x)(xy-x-y-1)=2204
soit (x+y)(1-1/y-1/x-1/xy)=2204
....

[chan79]

bsr,

solution pour x=y=0
sinon
si on divise par xy <>0 les 2 membres on obtient
(1/y+1/x)(1-1/y-1/x-1/xy) = 2400 >1

Salut
On dirait que tu as divisé le membre de gauche par x²y² et celui de droite par xy

grillé...

[Dacu]

bsr,

solution pour x=y=0
sinon
si on divise par xy <>0 les 2 membres on obtient
(1/y+1/x)(1-1/y-1/x-1/xy) = 2400 >1

avec x et y appartient à N
or chacune des parenthèses est <=1 et leur produit<=1 en contradiction avec 2400

Bon matin,

Je ne comprends pas!Qu'est-ce que , 2400?Vous disant que il n'y a pas d'autre solution en plus de ?

Cordialement!

[Pseuda]

Bonjour,

2204 = 29 * 19 *2²

Remarquer aussi que x=1 ou y=1 ne peut pas être solution.

A priori, il n'y a qu'à étudier toutes les possibilités (je n'ai pas fait) ....

[chan79]

ça marche avec (x,y)=(1598,611)

on peut permuter x et y

(0,0) est aussi solution, évidemment

[Dacu]

ça marche avec (x,y)=(1598,611)

on peut permuter x et y

Bonjour,

Comment trouvez-vous ces solutions?Il existe d'autres solutions?

Cordialement!

[chan79]

salut
Avant de chercher les couples (x,y), on cherche les couples (s,p)
en posant s=x+y et p=xy
on a nécessairement la relation
s(p-s-1)=2204p
sp-s²-s=2204p
p(s-2204)=s²+s
s=2204 ne convient pas
p=(s²+s)/(s-2204) Egalité (1)
En étudiant la fonction s ---> (s²+s)/(s-2204) on voit que sa courbe est une hyperbole dont les asymptotes se coupent au point (2204,4409)
On fait un changement de variables :
S=s-2204
P=p-4409
On remplace dans l'égalité (1)
P+4409=((S+2204)²+S+2204)/S

P+4409=(S²+4409S+4859820)/S
P=S + 4859820/S
S est donc nécessairement un diviseur de 4859820
il y en a 432, négatifs compris.
On les copie dans la première colonne d'un tableur, à partir de A2
Dans la seconde, on met P soit B2=A2+4859820/A2
Dans la troisième colonne, on met s soit C2=A2+2204
Dans la troisième colonne, on met p soit D2=B2+4409
Dans la quatrième colonne, on met s²-4p soit E2=C2^2-4*D2
Dans la cinquième colonne, si s²>=4p, on met F2=RACINE(E2)
Dans la sixième colonne, on met (s-racine(delta))/2 soit G2=(C2-F2)/2
Dans la septième colonne, on met (s+racine(delta))/2 soit H2=(C2+F2)/2
On recopie les formules vers le bas
On retient les cas où Gi et Hi sont des entiers.


on obtient les solutions :
(1598,611)
(611,1598)
(0,0)
on peut ajouter si on étend aux entiers relatifs :
(-1,0)
(0,-1)
(-1,1103)
(1103,-1)

[Lostounet]

Bravo Chan!
J'avais pensé à poser S et P comme tu l'as fait mais pas à les translater

[zygomatique]

salut

(*)

on travaille dans N donc pour avoir des solutions p est impair

posons p = 2q + 1

(*) <=>



il nous faut donc les diviseurs de 4859820

et pour tout couple de diviseurs (u, v) on résout le système :

s - 2204 = u
s - 2q + 2204 = v

... sous-réserve que la proposition soulignée soit vraie ...

[zygomatique]

le discriminant du trinome est

bon ça merde

effectivement faire la translation s = s - 2204 et p = p - 4409 ...

[Ben314]

Salut,

p(s-2204)=s²+s
s=2204 ne convient pas
p=(s²+s)/(s-2204) Egalité (1)
En étudiant la fonction s ---> (s²+s)/(s-2204) on voit que sa courbe est une hyperbole dont les asymptotes se coupent au point (2204,4409)
On fait un changement de variables :
S=s-2204
P=p-4409
On remplace dans l'égalité (1)
P+4409=((S+2204)²+S+2204)/S
P+4409=(S²+4409S+4859820)/S
P=S + 4859820/S

Perso, ça me semble plus "dans les clous" (i.e. bien plus naturel mathématiquement parlant), partant de l'égalité 1, de faire simplement la division Euclidienne des deux polynômes :


Donc est entier ce qui signifie que s-2204 est un diviseur de 2204x2205.