Une équation à deux inconnues dans Z

[slavik]

Bonjour,
POurriez-vous m'aider à résoudre l'équation

17x-13y=4
S'il vous plait.
Dans Z biensur.
(spé math)

[oscar]

Bonsoir Equation indéterminée

[slavik]

Bonsoir Equation indéterminée

http://static0.intellego.fr/uploads/files/ENONCE%20BAC%20S%20MATHS%20ASIE%202009%20SPECIALITE.pdf

C'est l'exercice 2 de ce sujet de BAC.
Je n'arrive pas à avancer =(

[Ben314]

Salut,
C'est LA équation diophantienne qu'il faut savoir résoudre : ax+by=c avec a et b premiers entre eux.
Comme a et b sont premiers entre eux, tu peut trouver deux entiers u et v tels que au+bv=1.
Tu écrit ensuite que ax+by=c équivaut à ax+by=c(au+bv), soit encore a(x-cu)=b(cv-y) (*)
donc a divise b(cv-y) et, comme a et b sont premiers entre eux, cela implique que a divise cv-y, c'est à dire que cv-y=ka avec k dans Z et donc que y=cv-ka. Tu remplace dans (*) et tu en déduit x.

Essaye de l'appliquer à ton équation (ici, un peu un peu simplifier la méthode vu les valeurs numériques que tu as...)

[Black Jack]

17x-13y=4

x = (4 + 13y)/17

et donc 4 + 13y doit être multiple de 17

---> y = 1 + 17k avec k dans Z

et x = ...


:zen:

[Osvan]

Alors voilà ce que je trouve moi pour cette équation (je suis en termS spé math donc n'hésitez pas à me corriger si vous trouvez ça pas très rigoureux):

Je rebondi sur l'équation de Ben :
17u-13v=1
17u=13v+1
d'où 17u ;) 1 [13]

Par balayage des valeurs possible de u on trouve :
si u=3 17x3 ;) 12 [13] <=> 17x3 ;) -1 [13] <=> (17x3)² ;) 1 [13]
donc u=(17x3)²/17=153

Donc 17x153-13v=1 d'où v=200

Ainsi pour 17x-13y=4 on a S={4x153-13k ; 4x200-17k avec k dans Z}

[Ben314]

Salut,
j'ai l'impression que sur le principe, ça fonctionne, mais tes valeurs pour u et v me semblent bien grandes (ce qui ne signifie pas que c'est faux, mais simplement que l'on peut faire plus petit).
La méthode "standard" pour trouver u et v tels que 17u-13v=1 est celle de l'algorithme d'euclide consistant à prendre les reste de divisions succésives :
pgcd(17,13)=pgcd(1x13+4,13)=pgcd(4,13)=pgcd(4,3x4+1)=pgcd(4,1)=1
puis à regarder comment s'écrivent les différents nombre qui apparaissent dans la suite :
4 est "apparu" lorsque l'on a écrit 17=1x13+4 donc 4=17-1x13=17-13
1 est "apparu" lorsque l'on a écrit 13=3x4+1 donc 1=13-3x4=13-3x(17-13)=4x13-3x17

Sinon, dans l'exo de départ, on n'était pas obligé non plus de chercher u et v (méthode classique) du fait que le 'c' à droite du = vaut 4 et qu'on voit du premier coup d'oeil que 4=17-13 donc on peut directement écrire que :
17x-13y=4 <=> 17x-13y=17-13 <=> 17(x-1)=13(y-1) <=> ...

[slavik]

Ah je comprends maintenant, on n'a pas encore fait cette partie du programme =(
Merci pour cette reponse ca me permet de m'avancer maintenant!

[Osvan]

Ah oui bien vu Ben ça simplifie énormément les solutions :)