Une correction incompréhensible

[besttrainer]

voici un exercice corrigé que j'ai trouver sur l'internet
Énoncé:
Soit f : [0, 1]---> R continue telle que f(0) = f(1).
Montrer que pour tout n de N , il existe  c de [0, 1 ;) 1/n] tel que
f( c + 1/n) = f(c)
correction :
Posons g: [0, 1 ;) 1/n]--> IR définie par g(x) = f(x + 1/n) ;) f(x)
La fonction g est continue.
Si g est de signe strictement constant alors
f(1) ;) f(0)=sigma(de k=0 à n-1) de f((k + 1)/n) _ f(k/n) =sigma(de k=0 à n-1) de g(k/n)
ne peut être nul.
Puisque g prend une valeur positive et une valeur négative, par le théorème des
valeurs intermédiaires, g s’annule.
Mon problème c'est que je n'ai pas compris pourquoi on a utilisé la somation (sigma) et comment on a pu conclure que f(1) ;) f(0) ne peut être nul .
et Merci d'avance ! :we:

[Sylviel]

Hello,

il suffit de lire étape par étape ce qui est raconté. Posons n=3 juste histoire d'y voir plus clair.

on écrit
f(1)-f(0)= [f(1)-f(2/3)]+[f(2/3)-f(1/3)]+[f(1/3)-f(0)]
= g(2/3)+g(1/3)+g(0)

si g est de signe constant, par exemple >0 alors
g(2/3)+g(1/3)+g(0)>0
ce qui n'est pas possible puisque cette somme vaut 0.

donc g n'est pas de signe constant, donc il existe c tel que g(c)=0 (TVI)
ce qui achève la démo.

[besttrainer]

Hello,

il suffit de lire étape par étape ce qui est raconté. Posons n=3 juste histoire d'y voir plus clair.

on écrit
f(1)-f(0)= [f(1)-f(2/3)]+[f(2/3)-f(1/3)]+[f(1/3)-f(0)]
= g(2/3)+g(1/3)+g(0)

si g est de signe constant, par exemple >0 alors
g(2/3)+g(1/3)+g(0)>0
ce qui n'est pas possible puisque cette somme vaut 0.

donc g n'est pas de signe constant, donc il existe c tel que g(c)=0 (TVI)
ce qui achève la démo.

Ah bon !! c'est ma faute :mur: ! j'ai cru qu'ils n'ont pas utilisé le fait que f(1)=f(0)
Merci pur toi !

[chan79]

Ca a l'air de correspondre à un résultat plus général


Soit une courbe (en bleu) représentative de f continue sur [0;1] telle que f(0)=f(1)
Si on translate cette courbe selon le vecteur avec k variant entre 0 et 1, les deux courbes ont au moins un point d'intersection.