Trinôme avec paramètres - Quelque question comme ça ^^

[Dinozzo13]

Bonsoir, j'aurai quelque questions (1 pour l'instant ^^) sur le trinôme du second degré. Je souhaiterai résoudre dans l'équation suivante : où et désignent des paramètres réels strictements positifs.
Pour cela je calcule le discriminant \Delta lié à cette équation :
Or là, c'est un peu le basard pour étudier le signe de ce discriminant alors je commence par le résoudre quand :

Si alors également.
Ensuite, je ne sais que faire, une idée ?

[Dinozzo13]

:ptdr: A croire que je demande l'impossible

[benekire2]

Salut,

Puisque tu cherche des rationnel, c'est pas comme ça que je commencerait. Remplace x par (p/q) et utilise la division euclidienne , tu devrait par exemple en tirer que p divise .. et q divise .. :we:

[Dinozzo13]

oui, mais je dois le résoudre d'une façon non arithmétique donc, c'est mort pour ça :cry:

[Dinozzo13]

Salut,

Puisque tu cherche des rationnel, c'est pas comme ça que je commencerait. Remplace x par (p/q) et utilise la division euclidienne , tu devrait par exemple en tirer que p divise .. et q divise .. :we:

Bon, admettons dans un premier temps cette méthode :
Si on pose avec p et q entiers alors on résous :

Mais je vois pas où ça nous mène

[Dinozzo13]

j'arrive à mais bon, je me paume là

[Olympus]

Je crois que benekire2 parle de ça : http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem .

Sauf qu'ici, "a" et "b" ne sont pas forcément des entiers .

[Dinozzo13]

Ouais, mais ça ne m'avance pas à grand chose, sinon je vois pas.
Mais sinon, on ne peut pas étudier le signe de ?

[Olympus]

Le théorème indiqué ( facile à prouver en utilisant le lemme d'Euclide ) permet de faire une liste des racines rationnelles possibles . Du coup, c'est toujours utile quand tu veux trouver des racines évidentes ^^

Mais sinon, on ne peut pas étudier le signe de ?

Pourquoi on ne pourrait pas ? Tu auras .

PS : je ne sais pas pourquoi /cup et /cap sont horriblement grands par rapport aux autres symboles :hum:

[Lostounet]

Mais sinon, on ne peut pas étudier le signe de ?

Fais un tableau ??? (:ptdr:)
Ok je sors :zen:

[Dinozzo13]

Oui, mais là tu considère a comme une variable et b comme un paramètre, or a et b sont deux paramètres

[benekire2]

Olympus >> C'est Tex et non LaTex et donc les symboles sont moins bien ..

Dinno >> Pourquoi la méthode est imposée ? C'est ce qu'on t'as donné comme exo ?

Par contre c'est bien le théorème qu'a renvoyé olympus, et ça donne une liste possible de racines.

Cela dit, je verrais demain !

[Dinozzo13]

Nam, mais il serait préférable de ne pas le faire de façon arithmétique vu que tout les gens ne font pas spé maths en Tle ^^

@Olympus : Aussi, si on a alors on a pas forcément ou encore pour tout a et b positifs.

[Olympus]

Nam, mais il serait préférable de ne pas le faire de façon arithmétique vu que tout les gens ne font pas spé maths en Tle ^^

Sauf que, tu ne pourras pas tirer de formule générale . Tu pourras au mieux faire une liste des racines possibles, mais sans arithmétique, tu n'y arriveras pas .

@Olympus : Aussi, si on a alors on a pas forcément ou encore pour tout a et b positifs.

Euh, je ne vois pas où est-ce que j'ai affirmé ça . :doh:
Si tu relis mon post, tu verras que .

Il se passe quoi avec toi Dino, t'as pas dormi ? xD

[Dinozzo13]

Nam mais pour dire qu'il faut trouver à quels ensembles appartient a et b vu que ce sont des paramètres et donc n'implique pas ou donc, on est un peu perdu :ptdr:

Bon, essayons la méthode arithmétique, mais là je vois pas comment démarrer

P.S. : oui, je suis crevé là

[Olympus]

Le fait qu'ils soient des paramètres n'empêche pas de poser une ou plusieurs contraintes sur un de ces paramètres en fonction de l'autre, car quoique tu fasses, mon équivalence est vraie

Pour la méthode arithmétique, faut d'abord la contrainte suivante : .

Ensuite, vu que , alors il existe deux entiers et premiers entre eux tels que .

Tu remplaces dans ton équation, puis tu multiplies le tout par pour ne plus avoir de fractions moches, et t'auras :



Donc d'après le lemme d'Euclide divise . Donc le numérateur de est parmi les diviseurs de .

En factorisant maintenant par au lieu de dans ton équation, on aura :

.

Toujours d'après le lemme d'Euclide, , donc le dénominateur est soit 1 soit -1, et donc est un entier .

Et hop t'as un ensemble fini des racines rationnelles possibles !