Trigo

[Anonyme]

bonjour à tous,
on connait ts la formule de duplication cos(2a)=cos²(a)-sin²(a)=1-2sin²(a)=2cos²(a)-1
comment trouver cos(3a) et suite..il faut utiliser la formule de moivre..mais je sais pas comment l'utiliser...??


de meme pour les formules de linéarisation
cos²(a)=(1+cos(a))/2
comment trouver cos(3a) et suite...Il faut utiliser les formules d'Euler mais comment..??

J'ai essayé de voir comment je pouvais démontrer ces formules (moivre et euler) mais je vois pas du tt coment je peux faire..quelle est l'astuce???!!!
S'il vous plait...Eclairer moi!!
merci

PS: euh..ac les sinus...ca marche pareil?? lol

[Nightmare]

Bonjour :happy:

Il faut utiliser :


On a :


Donc avec la formule précédente :





:happy3:
Jord

[Galt]

Onpeut se passer des formules de Moivre et d'Euler pour les développements, en utilisant les formules d'addition autant de fois qu'il faut
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
Donc pour cos(3a)=cos(2a+a)=cos(2a)cosa-sin(2a)sina
On conaît cos(2a) = 2cosa-1 et sin(2a) = 2sinacosa
On substitue, on remplace quand on peut sin a par 1-cos a et on obtient cos(3a)=4cosa-3cosa.
Pour les sinus, le même genre de calcul
Avec la formule de Moivre : , ce qui s'écrit (cosx+isinx)= cos(nx)+isin(nx), puis on développe et on identifie les parties réelles et les parties imaginaires.
Pour les linéarisations, je ne conais guère d'autre méthode que d'employer les formules d'Euler et , on élève à l'exposant souhaité, puis on regroupe dans le terme de droite les et pour obtenir des cos(kx) ou des sin(kx)
Un exemple :

[celge]

salut
excuse moi, non inscrit (pseudo très original), mais, pour ce qui est de la formule de linéarité, ce ne serait pas
? NON ?

[Nightmare]

Pour la linéarisation, Galt a prouvé en premier que :

On en déduit :

et donc :


:happy3:
Jord

[Anonyme]

merci de vos réponse,
oui celge je me suis trompé pour la linéarisation c bien cos(a)^2=(1+cos(2a))/2

Sinon, pensez vous qu'il existe une formule générale pour la duplication et la linéarisation...c'est à dire:
cos(nx)=....??
sin(nx)=....??
cos(x)^n=....??
sin(x)^n=....??

[celge]

Il me semble que galt a déjà apporté des élèments de réponse à ta question (tes questions, d'ailleur)

[Nightmare]

Oui tu peux essayer de chercher des formules générales.
Pour et tu devrais t'en sortir avec le binôme de Newton.
Pour cos(nx) et sin(nx) je pense qu'il va falloir faire une conjecture et la démontrer par réccurence

:happy3:
Jord

[phenomene]

Pour tout entier naturel , on a , où est un polynôme de degré , appelé polynôme de Chebyshev (*) de première espèce.
Plus de détails (en anglais) sur http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheFirstKind.html.

(*) Il existe quarante orthographes différentes de ce nom ! Ne m'en voulez pas si vous l'avez vu écrit différemment.

[Nightmare]

Peut-être etait-ce plus dur à trouver que comme je le voyais ... :briques:

:happy3:
Jord

[Anonyme]

Ce polynôme de Chebyshev....c quel niveau??

[Nightmare]

Post-bac vu l'intégrale de contour (je dirais 2éme ou 3éme année)

:happy3:
Jord

[phenomene]

Une référence en français cette fois, accessible au niveau bac + 1.

On peut dès le niveau Terminale S démontrer par récurrence que est un polynôme de degré en , c'est d'ailleurs l'objet d'un fil récent sur ce forum. Par contre, si vous voulez une expression explicite de de polynôme, c'est un peu plus compliqué...

[Nightmare]

En quelle année sont vues les intégrales de contour phenomen ?

:happy3:
Jord

[phenomene]

En quelle année sont vues les intégrales de contour phenomen ?

:happy3:
Jord

Dans le lien évoqué plus haut dans ce fil, il s'agit de l'intégrale d'une fonction complexe sur un contour. La théorie de la variable complexe (fonctions holomorphes) n'est pas difficile et est très jolie, mais elle n'est pas (plus ?) enseignée en premier cycle. C'est donc plutôt pour la troisième année d'études.

[Nightmare]

Daccord merci bien :happy3:

J'ai encore du temps devant moi alors pour voir ça :lol3: