Trigo

[samgave]

bonsoir,
j'ai un dm et je sais pas trop par kl bout commencer
voici l'énoncé:
demontrer que pour tout x de /R, on a la relation:
sin^4(x)=3/8 -1/2*cos2x+1/8*cos4x

[el niala]

pars du membre de droite

cos(4x)=cos(2x+2x)=cos(2x)cos(2x)-sin(2x)sin(2x)= cos²(2x)-(1-cos²(2x)) et tu continues

(1/2)cos(2x)=(1/2)(2cos²x-1)

tu regroupes à la fin

[samgave]

pars du membre de droite

cos(4x)=cos(2x+2x)=cos(2x)cos(2x)-sin(2x)sin(2x)= cos²(2x)-(1-cos²(2x)) et tu continues

(1/2)cos(2x)=(1/2)(2cos²x-1)

tu regroupes à la fin

attention c'est sin^4 (x) pas sin(4x);

[Trident]

bonsoir,
j'ai un dm et je sais pas trop par kl bout commencer
voici l'énoncé:
demontrer que pour tout x de /R, on a la relation:
sin^4(x)=3/8 -1/2*cos2x+1/8*cos4x

On te demande en gros de linéariser sin^4(x).

Pour cela, il faut que tu utilises les formules d'Euler :

cos(x) = 1/2 [e^(ix) + e^(-ix)]

sin(x) = 1/(2i) [e^(ix) - e^(-ix)]

Et ce, quelque soit x (à connaître par coeur).


Donc :

sin^4(x) = [ 1/(2i) [e^(ix) - e^(-ix)] ] ^4 = 1/16 * [ e^(ix) - e^(-ix) ]^4

Or, pour tout a et b complexes, d'après la formule du binôme de Newton, on a :

(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a²b² + 4ab^3 + b^4

Donc, on en déduit :

[ e^(ix) - e^(-ix) ]^4 = e^(4ix) - 4e^(3ix)e^(-ix) + 6e^(2ix)e^(-2ix) -4e^(ix)e^(-3ix) + e^(-4ix)

soit (en arrangeant un peu tout ça)

[ e^(ix) - e^(-ix) ]^4 = e^(4ix) + e^(-4ix) -4[ e^(2ix)+e^(-2ix)] + 6e^0

On réutilise les formules d'Euler :

cos(4x) = 1/2 [e^(4ix) + e^(-4ix)]

donc e^(4ix) +e^(-4ix) = 2cos(4x) etc... pour en déduire que :

[ e^(ix) - e^(-ix) ]^4 = e^(4ix) + e^(-4ix) -4[ e^(2ix)+e^(-2ix)] + 6e^0



[ e^(ix) - e^(-ix) ]^4 = 2cos(4x) - 8cos(2x) + 6

et finalement, de cette formule de départ :

sin^4(x) = 1/16 * [ e^(ix) - e^(-ix) ]^4

on déduit :


sin^4(x) = 1/16 * [2cos(4x) - 8cos(2x) + 6] = (1/8)*cos(4x) - (1/2)*cos(2x) + 3/8


Je t'ai tout détaillé volontairement car normalement, c'est pas trop au programme du lycée (c'est à la limite disons), mais attention à bien retenir la méthode qui se base essentiellement sur
-les formules d'Euler
-la formule du binôme de Newton

[samgave]

On te demande en gros de linéariser sin^4(x).

Pour cela, il faut que tu utilises les formules d'Euler :

cos(x) = 1/2 [e^(ix) + e^(-ix)]

sin(x) = 1/(2i) [e^(ix) - e^(-ix)]

Et ce, quelque soit x (à connaître par coeur).


Donc :

sin^4(x) = [ 1/(2i) [e^(ix) - e^(-ix)] ] ^4 = 1/16 * [ e^(ix) - e^(-ix) ]^4

Or, pour tout a et b complexes, d'après la formule du binôme de Newton, on a :

(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a²b² + 4ab^3 + b^4

Donc, on en déduit :

[ e^(ix) - e^(-ix) ]^4 = e^(4ix) - 4e^(3ix)e^(-ix) + 6e^(2ix)e^(-2ix) -4e^(ix)e^(-3ix) + e^(-4ix)

soit (en arrangeant un peu tout ça)

[ e^(ix) - e^(-ix) ]^4 = e^(4ix) + e^(-4ix) -4[ e^(2ix)+e^(-2ix)] + 6e^0

On réutilise les formules d'Euler :

cos(4x) = 1/2 [e^(4ix) + e^(-4ix)]

donc e^(4ix) +e^(-4ix) = 2cos(4x) etc... pour en déduire que :

[ e^(ix) - e^(-ix) ]^4 = e^(4ix) + e^(-4ix) -4[ e^(2ix)+e^(-2ix)] + 6e^0



[ e^(ix) - e^(-ix) ]^4 = 2cos(4x) - 8cos(2x) + 6

et finalement, de cette formule de départ :

sin^4(x) = 1/16 * [ e^(ix) - e^(-ix) ]^4

on déduit :


sin^4(x) = 1/16 * [2cos(4x) - 8cos(2x) + 6] = (1/8)*cos(4x) - (1/2)*cos(2x) + 3/8


Je t'ai tout détaillé volontairement car normalement, c'est pas trop au programme du lycée (c'est à la limite disons), mais attention à bien retenir la méthode qui se base essentiellement sur
-les formules d'Euler
-la formule du binôme de Newton

merci beaucoup pour tes efforts fournis mais comme tu l'as dit , c'est pas à mon programme actuellement et du coup sa risque de ne pas passer avec mon prof
J'avais esquivé un début de réponse en développant sin^4(x)={sin²(x)}² et je voulais mettre en pratique la formule: cos2x=cos²x-sin²x?
Qu'est ce t'en penses?

[sad13]

Formule du binôme et Formule d'Euler c'est bien au programme de Terminale non?

[geegee]

bonsoir,
j'ai un dm et je sais pas trop par kl bout commencer
voici l'énoncé:
demontrer que pour tout x de /R, on a la relation:
sin^4(x)=3/8 -1/2*cos2x+1/8*cos4x

bONJOUR?


sin^4(x)=3/8 -1/2*cos2x+1/8*cos4x
cos2x=cos^2(x)-sin^2(x)=2*cos^2(x)-1
cos4x=cos^2(2x)-sin^2(2x)=2*cos^2(2x)-1=2 *(2*cos^2(x)-1)^ 2 -1=2*(4cos^4(x)-4*cos^2(x)+1)-1=8cos^4(x)-8*cos^2(x)+1
3/8 -1/2*cos2x+1/8*cos4x=3/8-cos^2(x)+1/2+1/8*(8cos^4(x)-8*cos^2(x)+1)=1-cos^2 (x)+cos^4(x)-cos^2(x)
sin^4(x)=(1-cos^ 2 (x))^2=1-2cos^2(x)+cos ^4(x)
donc c'est égale

[el niala]

attention c'est sin^4 (x) pas sin(4x);

oui, et alors ? sin²X=1-cos²X

geegee t'a donné la réponse en poursuivant le raisonnement que je trouve plus élégant et plus simple que la démarche par Euler+Newton

[Carpate]

oui, et alors ? sin²X=1-cos²X

geegee t'a donné la réponse en poursuivant le raisonnement que je trouve plus élégant et plus simple que la démarche par Euler+Newton

Pourquoi sortir l'artillerie lourde avec Euler et Newton quand on peut arriver au but en n'utilisant que 2 identités (qui doivent être établies en 1ère ?)



D'aprés (2) :

[el niala]

Pourquoi sortir l'artillerie lourde avec Euler et Newton quand on peut arriver au but en n'utilisant que 2 identités (qui doivent être établies en 1ère ?)



D'aprés (2) :

tout à fait d'accord, c'était du reste le sens de ma remarque précédente