Triangles isométriques

[MisterCyp]

Bonjour,
J'ai un petit problème,

Voici l'Exercice:

C est un cercle de centre O, de rayon r et [CD] est l'une de ses cordes ( D et D non diamétralement opposés). E et F sont les points de [CD] tels que CE=EF=FD. Les demi-droites [OE) et [OF) coupent respectivement le cercle C en A et B.

a) Démontrer que les triangles OEC et OFD sont isométriques. En déduire la nature de OEF.

b) Démontrer que les droites (AB) et (EF) sont parallèles.

c) On suppose de plus que le triangle OAB est équilatérale. Exprimer CD en fonction de r.

Réponses:

a) OC = OD car rayons du cercle
ODC est isocèle en O donc les angles ODF et OCE sont égaux.
CE = FD
Les triangles ont 2 longueurs et un angle égaux donc ce sont des triangles isométriques.
Le triangle OEF est donc isocèle en O car les triangles OEC et OFD sont isométriques donc OE = OF.

b) Dans le triangle OAB
on a : E appartient à [AO]
F appartient à [OB]

OE/OA
OF/OB
OE = OF
OA = OB car rayons du cercle

Les rapports sont égaux donc d'après la réciproque de thales les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

c) ba la je comprends pas ce qu'il faut faire .
Dans l'exercice ils mettent une aide, ils disent : " évaluer par exemple les angles du triangle OEC puis exprimer la longueur EC en fonction de r. En déduire la longueur CD en fonction de r. "

Voila j'espere que vous voulez bien m'aider.
Merci d'avance.

[yvelines78]

bonsoir,
On suppose de plus que le triangle OAB est équilatérale. Exprimer CD en fonction de r.
c) ba la je comprends pas ce qu'il faut faire .
Dans l'exercice ils mettent une aide, ils disent : " évaluer par exemple les angles du triangle OEC puis exprimer la longueur EC en fonction de r. En déduire la longueur CD en fonction de r. "

oab équilatéral--->boa=abo=aob=60° et ab=ao=ob=r

déterminer les angles du triangle oec :
(ab)//(ef), (ao) sécante--->bao=feo=60°
c, d et e alignés--->ceo=180°-60°=120°

de même abo=efo=60

-->triangle EFO équilatéral-->eo=ef
d'autre part ef=ec
--->eoc isocèle en e--->eoc=eco=30°

soit H le pied de la hauteur issue de E dans eoc
coseoh=cos30°=(r/2)/ec=V3/2