Triangle et cercle inscrit p.380(transmaths 1ère S)

[Azul]

Bonsoir ,
Je suis parvenue a trouver des réponses sauf à la dernière question alors je vais juste vous donnez les réponses qui nous intéressent c'est à dire le cos et le sin de C donc on trouve normalement : cos C = 33/65 et sin C= 56/65 mais ensuite je ne parviens pas a trouver le moyen d'avoir la moitié de mon angle C .... et donc je ne peux trouver ni CA ni Cb
Voici l'exo :
Bonjour,
Abc est un triangle, le cercle C de centre O et de rayon 4 est le cercle inscrit tangent en I à (AB); IA=8 et IB=6.

1. a) Calculez:
sin Â/2 et cos Â/2
b) Déduisez-en que sin  = 4/5 et cos  = 3/5
2. De la même manière, calculez cos ^B et sin ^B
3. a) Démontrez que :
cos ^C=-cos(Â+^B) est sin ^C=sin(Â+^B)
b) Déduisez-en cos^C et sin^C.
c) Déduisez-en les valeurs exactes de CA et CB.

Donc pour la dernière je pense qu'on se sert de cos ( 2a) mais j'aboutis pas si qq aurait la gentillesse de m'aider rien que pour la moitié de l'angle ça serait fort sympathique merci.......

[saintlouis]

Bonsoir

Il faut d' abord xalculer AO² = OI²+AI² = 80=> AO = 4V5 Justifie
SinA/2 = OI/AO et cos A/2 = AI/AO
Sin A = 2sinA/2cos A/2= 4/5 ???; cos A = =3/5???
De m^ pour B ???
A+B+C = 180° d' où C=
Complete
Calcule aussi CA et CB .A TOI

[saintlouis]

Figure
http://img241.imageshack.us/img241/4717/triangleetcercle22pf5.jpg

[Azul]

Merci pour ta réponse.
Mais c'est bon pour toutes les questions mais ma prof ma dit qu'il fallait que j'utilise le cos et le sinus de C pour trouver CA t Cb mais je n'ai pas de triangle rectangle .... et je ne sais pas calculer la moitié du cos de C car je n'ai pas le droit de diviser par 2 alors la dernière question reste un mystère.....

[saintlouis]

Bonjour=>Tracer CO
Soit H le point de contact de CA avec (0) et K celui de CB avec (0)
SinA = 4/5=> A = 53°,1

SINB/2 = OI/OB = 4/ V(4²+6²) = =0,55=>
B/2 = 33°,7 et B = 67°,4
Donc C = 180° -A-B

Tg C/2 = OH/CH(tr.CHO) => CH puisCK=CH
CA = CH+AH = (AH= AI =8)
CB= CK+KB( KB= BI =6)