Transformation complexe [TS]

[lalane]

Bonjour, j'ai un devoir maison de mathématiques pour la semaine prochaine et je bloque sur le premier exercice.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, u, v) on considère les point A, B et C d'affixes respectives a=2, b=1-i et c=1+i.

1)a) Placer les points A, B et C sur une figure
-> ca c'est bon
b) Calculer (c-a)/(b-a). En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.
-> c'est bon aussi.

2)a) On appelle r la rotation de centre A telle que r(B)=C.
Déterminer l'angle de r et calculer l'affixe d du point D=r(C).
-> je bloque ici, je ne sais pas s'il faut utiliser la relation z'-w = e^i*alpha (z-w)

b) Soit gamma le cercle de diamètre [BC].
Déterminer et construire l'image gamma' du cercle gamma par la rotation r.
-> forcément je suis bloquée à cette question également.

L'exercice n'est pas fini mais je ne met que cela en attendant. En espérant trouver de l'aide auprès de vous, bonne journée.

[johnjohnjohn]

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, u, v) on considère les point A, B et C d'affixes respectives a=2, b=1-i et c=1+i.



2)a) On appelle r la rotation de centre A telle que r(B)=C.
Déterminer l'angle de r et calculer l'affixe d du point D=r(C).
-> je bloque ici, je ne sais pas s'il faut utiliser la relation z'-w = e^i*alpha (z-w)

D'abord il faut savoir ( et tu as l'air de le savoir ) que la forme complexe d'une rotation d'angle alpha et de centre T est :

z'=exp(i.alpha)(z-zT) + zT ( zT: affixe de T, z' affixe de M', z affixe de M )

Franchement je vois pas pourquoi tu n'exploiterais pas cette propriété

tu as déja son centre A, reste à déterminer l'angle, comme on te dit que r(B)=C, c'est terminé ....

zc=exp(i.alpha)(zb - za) + za

[lalane]

oui, mais je ne vois pas comment exploiter cette relation justement pour trouver l'angle.
on obtient zc = e^(i*alpha)(1-i-2) + 2
zc = e^(i*apha)(-1+i)+2
comment trouver alpha à partir de cela ?
on développe pour obtenir :
zc = -e^(i*alpha) + ie^(i*alpha) + 2 ?

[johnjohnjohn]

oui, mais je ne vois pas comment exploiter cette relation justement pour trouver l'angle.
on obtient zc = e^(i*alpha)(1-i-2) + 2
zc = e^(i*apha)(-1+i)+2
comment trouver alpha à partir de cela ?
on développe pour obtenir :
zc = -e^(i*alpha) + ie^(i*alpha) + 2 ?

Tu mets des difficultés là ou il n y en a pas :

zc=exp(i.alpha)(zb - za) + za

exp(i.alpha)=(zc-za)/(zb - za)= .......

[lalane]

ha oui d'accord on obtient donc que e^(i*alpha)=-i
on prend l'argument de tout ca et on obtient -pi/2.

pour zd on obtient alors : zd-za = e^(i*alpha)(zc-za)
zd = i+3 ?

Par contre pour la b), faut il réutiliser cette formule ? vu que l'on nous donne le diamètre je ne vois pas comment utiliser cela.

[johnjohnjohn]

ha oui d'accord on obtient donc que e^(i*alpha)=-i
on prend l'argument de tout ca et on obtient -pi/2.

Bahhhh ouiiiiiii

pour zd on obtient alors : zd-za = e^(i*alpha)(zc-za)
zd = i+3 ?

j'ai la flemme de vérifier. C'est du calcul


a=2, b=1-i et c=1+i
.
zd -2 = -i.(1+i-2)=-i(i-1)=1+i

finalement j'ai vérifié, ben t'as l'air d'avoir bon hein !

Par contre pour la b), faut il réutiliser cette formule ? vu que l'on nous donne le diamètre je ne vois pas comment utiliser cela.

[/quote]

Il faut savoir que l'image par une rotation

- d'une droite est une droite
- d'un cercle est un cercle

si en plus tu as retenu qu'une rotation conserve les distances alors tu sais que l'image d'un cercle de rayon R est aussi un cercle de rayon R.
Et à partir de là l'exercice est presque terminé non ??

[lalane]

Le cercle gamma est donc un cercle de centre 1. Si on applique une rotation d'angle -pi/2, on obtient que gamma' a pour centre -i et un rayon égal au vecteur v?

Sinon, il reste toute une question
3) Soit M un point de gamma d'affixe z, distinct de C et M' d'affixe z' son image par r.

a) Montrer qu'il existe un réel téta appartenant à [0 ; pi/2[ U ]pi/2 ; 2pi[ tel que z= 1 + e^(i*téta)
-> ca...

b) Exprimer z' en fonction de téta.
-> de même...

c) Montrer que (z'-c)/(z-c) est un réel. En déduire que les points C, M etM' sont alignés.
-> je pourrais le faire une fois la question b trouvé je pense

d) Placer sur la figure le point M d'affixe 1 + e^(i2pi/3) et construire son image M' par r.

[johnjohnjohn]

Le cercle gamma est donc un cercle de centre 1. Si on applique une rotation d'angle -pi/2, on obtient que gamma' a pour centre -i et un rayon égal au vecteur v?
.

ça ne veut pas dire grand chose un cercle de centre 1 et de rayon égal au vecteur v. 1 c'est une AFFIXE pas un point et un rayon c'est une longueur pas un vecteur !

Reprenons. le cercle gamma a pour diamètre BC. Son centre est le milieu de BC , c'est le point G ( appelle le comme bon te semble ) d'affixe zc+zb/2=(1+i+1-i)/2=(2)/2=1 ( bravo ) ! . Le cercle image gamma' est le cercle de centre G'=r(G) et de rayon norme(BC)/2=|zc-zb|/2.

je te laisse faire les calculs !

Sinon, il reste toute une question
3) Soit M un point de gamma d'affixe z, distinct de C et M' d'affixe z' son image par r.

a) Montrer qu'il existe un réel téta appartenant à [0 ; pi/2[ U ]pi/2 ; 2pi[ tel que z= 1 + e^(i*téta)
-> ca...

.

Tout point M de gamma privé de C vérifie la relation en distance

Quelque soit M différent de C , GM=R=Rayon. Ceci est une équation de ton cercle.

ce qui se traduit en complexe par

| z - zG | = R, z différent de zc

Notons Z le complexe Z=z-zG. Soit alpha un argument de Z ,

Z=R.exp(i.alpha) z-zg=R.exp(i.alpha)


Reprends cette démarche avec les valeurs de zG affixe de ton centre et R rayon de ton cercle que tu as déterminé plus haut.

[lalane]

pour la question 2)b), j'applique la formule zg'-za = e^(i*alpha)(zg-za)
je trouve que zg'=2i-1
Si le résultat est correct je ne vois pas vraiment la rotation sur la figure, vu qu'elle est de -pi/2.


pour la question 3)a)
GM=R
z-zg = R
cela j'ai compris, mais pourquoi pose-t-on Z=Re^(i*alpha) ?

z-zg = Re^(i*alpha)
zg=1 mais je trouve R=i en utilisant (zc-zb)/2, je pense que je devrait trouver 1 pour retrouver le résultat demandé mais je ne vois pas comment.

Merci pour votre aide apportée jusque là en tout cas, je reviens demain soir pour continuer, je vais me coucher là.
Bonne soirée et à demain j'espère.

[johnjohnjohn]

pour la question 2)b), j'applique la formule zg'-za = e^(i*alpha)(zg-za)
je trouve que zg'=2i-1
Si le résultat est correct je ne vois pas vraiment la rotation sur la figure, vu qu'elle est de -pi/2.

zg' -2 = -i.(1-2)=i donc zg'=2+i, ça colle bien avec ma figure ...

pour la question 3)a)
GM=R
z-zg = R

Attention !!!! j'ai écrit | z- zg|=R ( module ) pas z-zg=R, ça n'a RIEN à voir !

cela j'ai compris, mais pourquoi pose-t-on Z=Re^(i*alpha) ?

Si |Z|=R en module alors par définition il existe alpha tel que Z=R.exp(i.alpha). Alpha est l'argument de Z, c'est du cours !

z-zg = Re^(i*alpha)
zg=1 mais je trouve R=i en utilisant (zc-zb)/2, je pense que je devrait trouver 1 pour retrouver le résultat demandé mais je ne vois pas comment.

Tu mélanges tout ! R=|zc-zb|/2 c'est un réel positif |zb-zc| représente le MODULE !!! ( je sais plus comment l'écrire ) de l'affixe du vecteur BC. BC étant un diamètre du cercle gamma , le rayon de gamma est la moitié de la norme du vecteur BC ou autrement dit la moitié du MODULE de l'affixe du vecteur BC. Claro ??

Merci pour votre aide apportée jusque là en tout cas, je reviens demain soir pour continuer, je vais me coucher là.
Bonne soirée et à demain j'espère.

De rien. Moi aussi je vais me coucher, bonne nuit

[lalane]

Ok, j'ai compris maintenant. En calculant zc-zb / 2 on obtient i et comme on prend le module on trouve 1.
Du coup on arrive bien à la relation demandé z=1+exp(i*alpha).
Merci.

Pour la question b), on applique le même raisonnement que pour la question a ?

[johnjohnjohn]

Ok, j'ai compris maintenant. En calculant zc-zb / 2 on obtient i et comme on prend le module on trouve 1.
Du coup on arrive bien à la relation demandé z=1+exp(i*alpha).
Merci.

Pour la question b), on applique le même raisonnement que pour la question a ?

b) Exprimer z' en fonction de téta.


a=2, b=1-i et c=1+i

2)a) On appelle r la rotation de centre A telle que r(B)=C.
Déterminer l'angle de r et calculer l'affixe d du point D=r(C).
-> je bloque ici, je ne sais pas s'il faut utiliser la relation z'-w = e^i*alpha (z-w)





C'est simple tu repars de l'expression complexe de ta rotation

Pour tout point M du plan :

z'=exp(-i.pi/2).( z-2)+2 = -i(z-2) + 2 (A)

Tu viens d'établir que pour tout point M de gamma privé de C :

z=1+ exp(i.alpha ) alpha dans [0,2Pi[ privé de pi/2

Alors tout point M' de gamma est tel que ... ( tu injectes z dans (A) )

[lalane]

On obtient donc que z' = i - iexp(i*téta) + 2 ?

[johnjohnjohn]

On obtient donc que z' = i - iexp(i*téta) + 2 ?

z'=-i(1+exp(i.alpha) -2 ) +2=-i( -1 + exp(i.alpha) ) + 2

ça ressemble bien !


La suite est un peu plus coton ( le calcul de z'-c/z-c ) mais ça se fait. Je te donne un coup de main si tu patauges

[lalane]

Bonjour, je veux bien un petit coup de main pour le calcul de (z'-c)/(z-c), j'obtiens un résultat bizarre. Et s'ils nous demande de montrer que le résultat est un réel, il faut bien qu'il n'y ait plus de i ?

[johnjohnjohn]

Bonjour, je veux bien un petit coup de main pour le calcul de (z'-c)/(z-c), j'obtiens un résultat bizarre. Et s'ils nous demande de montrer que le résultat est un réel, il faut bien qu'il n'y ait plus de i ?

C'est bien ça, il ne faut plus qu'il y ait de i. Montre moi comment tu t'y es pris ?

[lalane]

j'ai remplacé dans l'expression : (i - iexp(itéta) + 2) - (1 + i)) / (1 + exp(itéta) - (1 + i))

[johnjohnjohn]

j'ai remplacé dans l'expression : (i - iexp(itéta) + 2) - (1 + i)) / (1 + exp(itéta) - (1 + i))

bah oui mais faut continuer ! c'est loin d'être simplifié ton truc

[lalane]

je sais bien, mais j'obtiens (-iexp(2itéta) + iexp(itéta) + exp(itéta) + i) / (exp(2itéta) +1)

[johnjohnjohn]

je sais bien, mais j'obtiens (-iexp(2itéta) + iexp(itéta) + exp(itéta) + i) / (exp(2itéta) +1)

En fait il va falloir passer par la forme algébrique ( si quelqu'un voit comment faire sans passer dès le départ par la forme algébrique, je regarderai attentivement )

Tu sais d'apres ton cours que

exp(i.a)=cos(a) + i.sin(a)

ton tu pars de (i - iexp(itéta) + 2) - (1 + i)) / (1 + exp(itéta) - (1 + i))

= (1 - i.exp(i.a))/(exp(ia) + i )

Donc tu remplaces en haut et en bas exp(ia) par la forme algébrique et tu cherches un peu. Je te donne quand même un indice, essaye d'abord de rendre réel le dénominateur en multipliant ( en haut et en bas ) par la quantité conjuguée du dénominateur ( rappel si z=a+ib son conjugué est z=a-ib ). C'est vrai que c'est des calculs un peu pénibles mais avec de l'attention tu vas t'en sortir.