Transformation du plan complexe (az+b)/(cz+d)

[Anonyme]

Bonsoir.
J'ai des difficultés avec l'exercice suivant. Voici l'énoncé.

"Soient z=x+iy et Z=X+iY, deux nombres complexes liés par la relation

az + b
Z = -------- (E)
cz + d

a,b, c et d sont des nombres réels tels que ac-bd est different de 0.

La transformation ponctuelle du plan orthonormé Oxy fait correspondre
au point m d'affixe z, le point M d'affixe Z.

1°) On considère, sur l'axe y'y, un point quelconque m d'affixe z=iy
; calculer l'affixe Z du point M correspondant.

- Comment faut-il choisir a, b, c et d pour que (E) conserve l'axe y'y?
(on trouvera qu'il existe deux transformations répondant à la
question)."

En calculant l'image de iy qui doit être imaginaire pout tout y réel,
j'arrive à la relation bd+acy²=0.
Comme cette relation doit-être vérifié pour toute valeur de y, on
doit avoir ac=bd=0.

Comme en plus par hypothèse, on sait que ad-bc <>0, j'en ai déduit
que les deux cas qui pouvaient se produire sont : a=0 et d=0 ou b=0 et
c=0

Donc les transformations demandées sont de la forme z-->b/(cz) ou z-->
az/d

Le problème c'est que cette réponse ne semble pas convenir avec la
question qui suit ....

"2°) - On considère celle, (T), des deux transformations
précédentes (autre que l'identité) admettant le point A(1,0) pour
point double.
Montrer qu'elle est involutive et qu'elle admet aussi le point double
B(-1,0)."


Merci d'avance pour toute aide ou pour m'indiquer si ma réponse à la
première question est juste ...

[Anonyme]

A mon avis ta solution du 1 est correcte, mais l'énoncé semble en effet
incohérent.
Il me semble que T correspond à 1/z, mais je ne vois pas comment
modifier l'énoncé pour y arriver.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Merci pour la réponse.
En fait, l'énoncé (que l'on m'a envoyé) était apparemment
incorrect. Il fallait lire point "fixe" et non point "double". Auquel
cas toute la suite est cohérente.

Une dernière question : il faut ensuite déterminer quelle est l'image
d'un cercle passant par les points A(1;0) et B(-1;0) par l'inversion
z-->1/z.

Je sais déjà que l'image passera par les deux points A et B puisque
ce sont deux points fixes par l'inversion. mais je sèche ensuite pour
prouver rigoureusement qu'il s'agit d'une droite (?)...
Pouvez-vous me donner quelques pistes ?

Merci.

[Anonyme]

rem : à mon avis z'=1/z n'est pas pile une inversion
mais une sym par rapport à l'axe des abscisses puis une inversion de
centre O
et comme l'inverse d'un cercle ne passant pas par le centre
d'inversion est encore un cercle
z->1/z va transformer un cercle en un cercle

d'ailleurs si le cercle est de centre O , on a |z|=1 et on voit tout
de suite que |z'|=1 (avec z'=1/z)
en fait pour voir tout de suite cela pour un cercle qq
on peut passer en analytique
x=x'/(x'^2+y^'2) ...
et on plonge dans l'équation du cercle de départ
et on voit tout de suite que x' et y' vérifient une équation de cercle


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[url="http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/"]http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/[/url]
( olympiades mathématiques 1ère S )
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[Anonyme]

On peut voir géométriquement qu'un cercle passant par A et B est
globalement invariant par la transformation 1/z.
Soient C et D les intersections du cercle avec l'axe des ordonnées.
On a OA.OB = 1 = OC.OD (puissance de O par rapport au cercle)
Donc les affixes c et d de C et D vérifient c = 1/d et la transformation
1/z échange C et D. Comme elle laisse fixe A et B le cercle est
invariant par 1/z.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Merci beaucoup Alain et Stéphane pour votre aide. J'ai tout compris.
Mais je n'aurais jamais pensé à utiliser la puissance d'un point dans
cet exercice qui rend la démonstration courte et élégante !

Dernière petite question (résolue je pense donc il s'agit plutôt
d'une confirmation). Il fallait déterminer l'image d'une droite
passant par l'origine. J'ai trouvé que c'était la droite symétrique
par rapport à l'axe des abscisses.
Démonstration :
une droite passant par l'origine a une équation de la forme y=ax.
Donc si M d'affixe z est sur cette droite, z s'écrit sous la forme z =
x +iax.
En calculant 1/z on arrive à une expression de la forme x' -iax' (avec
x'=x/(x^2+a^2x^2)).
Donc l'image de M par la transformation 1/z est sur la droite
d'équation y'=-ax' qui est le symétrique de la droite d'équation
y=ax par rapport à l'axe des abscisses.
Est-ce que c'est juste ?
Merci de confirmer si cela ne vous ennuie pas. C'était la dernière
question !