Topologie : connexe - discret = connexe

[mathsforum]

Bonjour,
Comment pourrait-on montrer qu'un ouvert connexe C privé d'un ensemble discret D est encore connexe ?
J'ai pour l'instant supposé C\D non connexe, considéré deux ouverts disjoints partitionnant C\D. À partir de là, j'ai seulement réussi à montrer que l'intersection des adhérences de ces deux ouverts est non vide. Je n'arrive pas aller plus loin.
Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Ca va pas être facile à montrer vu que . . . c'est clairement faux . . .
C=]-1,1[ est un ouvert connexe de R et si j'enlève l'ensemble discret {0}, ben c'est plus connexe . . .

[mathsforum]

Effectivement ! J'ai oublié de préciser que C est un ouvert connexe de l'ensemble des complexes

[Ben314]

O.K.
Je sais pas s'il y a plus simple, mais si tu prend deux points a et b de C tels que le segment [a,b] soit contenu dans C alors alors il y a une infinité non dénombrable d'arcs de cercles contenu dans C et reliant a à b (tout ceux suffisamment "proche" du segment [a,b]) et deux tels arcs n'ont pas de point commun autres que les extrémités.
Or D est discret donc au plus dénombrable donc l'un au moins des arc de cercle ne rencontre pas D, (i.e. est contenu dans C\D).
Ca prouve en particulier qu'un disque ouvert (qui est convexe) privé d'un ensemble discret reste connexe par arc. Et avec ça tu doit arriver à montrer que si tu fixe un point xo de C\D, l'ensemble des points x de C tels que l'on peut relier xo à x par un arc contenu dans C\D (sauf éventuellement l'extrémité x si elle est dans D) est un ouvert fermé de C.

[mathsforum]

Désolé, je ne comprends pas bien ta preuve
- tu commences par montrer qu'un disque ouvert privé d'un ensemble discret reste connexe par arcs : ça j'ai bien compris
- et après en cherchant à montrer qu'il existe un ouvert fermé de C, tu veux montrer que C n'est pas connexe c'est ça ? Donc une preuve par l'absurde ? Mais où est-ce que tu supposes, par l'absurde donc, que C\D n'est pas connexe ? Et quel est le lien avec la première partie de la preuve ?
En espérant que mes questions ne soient pas trop bêtes
Et merci de ta réponse !

[Ben314]

En fait, je plagie le preuve du fait que "ouvert connexe => connexe par arc" (dans C) :
Je prend un point x0 de C (en fait pas forcément dans C\D) et je regarde la "composante connexe par arc ne rencontrant pas D", c'est à dire l'ensemble X des x dans C (et pas forcément dans C\D) tel qu'il existe un arc reliant x0 à x etcontenu dans C\D sauf éventuellement les extrémités. Via le passage précédent avec les boules, tu montre que X est ouvert donc bien sûr, c'est un ouvert de C. Sauf que le complémentaire de X dans C, c'est une réunion d'autres composantes du même type (avec un point autre que xo). Donc le complémentaire est aussi ouvert donc X est fermé dans C. C'est donc un ouvert-fermé non vide (vu que xo est dedans) de C qui est supposé connexe. C'est donc C tout entier et ça prouve que C\D est connexe par arc.

P.S. Et ça n'a rien à voir avec une preuve par l'absurde : si je veut montrer que X est ouvert-fermé, c'est bien sûr pour pouvoir utiliser l'hypothèse disant que C est connexe, c'est à dire que les seuls ouvert-fermés de C sont l'ensemble vide et C tout entier.

P.S.2 : Si c'est un exo., il y a sans doute plus simple vu que là, ce qu'on montre c'est bien plus général : C privé d'un ensemble dénombrable reste convexe.

[mathsforum]

d'accord, merci beaucoup !! J'ai bien compris