Khôlle : Topologie élémentaire.

[Nightmare]

Salut !

Voici la khôlle de la semaine dernière, les élèves l'ont adorée :zen:

Axiomes

Etant donné un ensemble E, on appelle topologie sur E un ensemble de parties de E vérifiant les 3 points suivant :

[Color="White"] .[/Color] (a) et sont dans
[Color="White"] .[/Color] (b) Une réunion, finie ou infinie, d'éléments de reste dans
[Color="White"] .[/Color] (c) Une intersection finie d'éléments de reste dans

Les éléments de sont dits ouverts. Un ensemble est dit fermé si c'est le complémentaire, dans E, d'un ouvert.

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[Color="White"] . . .[/Color]I]Topologie sur

Dans cette partie, une partie de est ouverte si pour tout x dans I, il existe un intervalle ouvert centré en x contenu dans I.

[Color="White"] .[/Color] 1) Vérifiez que les ouverts ainsi définis forment une topologie sur . Donnez l'exemple d'un ensemble fermé, d'un ensemble ouvert et fermé et d'un ensemble ni ouvert ni fermé.

[Color="White"] .[/Color] 2) Soit I un ouvert de . On considère un élément x de I et on note la réunion de tous les intervalles ouverts contenant x et contenus dans I. Montrez les résultats suivants :

- Si ,
- Si , alors soit , soit

[Color="White"] .[/Color] 3) Montrez en utilsant 2) et le fait que soit dense dans qu'un ouvert est réunion dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints.

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[Color="White"] . . .[/Color]II] Topologie sur
Dans cette partie, on dira qu'un sous-ensemble de est ouvert si pour chaque x dans , il existe une progression arithmétique de premier terme x et dont tous les termes sont dans , autrement dit s'il existe un entier tel que pour tout , . On conviendra que est ouvert.

[Color="White"] .[/Color] 1) Vérifiez que l'ensemble des ouverts ainsi définis forment bien une topologie sur

[Color="White"] .[/Color] 2) Montrez que dans ce cas particulier, tout ouvert de la forme est aussi fermé

[Color="White"] .[/Color] 3) Soit l'ensemble des nombres premiers. Montrez que ( )

[Color="White"] .[/Color] 4) Montrez que n'est pas fermé. En déduire qu'il existe une infinité de nombre premiers.

Amusez-vous bien.

:happy3:

[benekire2]

je m'y attelle dès mercredi ... ça à l'air cool :we:

[Billball]

toutes tes colles sont niveaux lycée..? ca fait peur :doh:

[Nightmare]

Salut !

Oui niveau terminale (disons bonne terminale), en général ils s'en sortent très bien. Cette khôlle là, malgré la nouvelle notion, n'est pas du tout difficile.

[benekire2]

après bien entendu, ça dépend où on pose la barrière du difficile ... :zen:

[benekire2]

Je suis sur la I-1 :

Comment montrer que est un ouvert de R , puisqu'il n'y a pas d'éléments à l'intérieur .... ?

sinon je dirais que R est à la fois un ouvert et un fermé ( complément de ) I={1} n'est ni ouvert ni fermé et ]-oo;-1]U[1;+oo[ est un fermé puisque c'est le complémentaire de ]-1;1[ qui est ouvert.

[Nightmare]

Je l'ai "admis" pour le II], mais dans les deux cas, la définition d'un ouvert O commençant par "quel que soit un élément de O...", l'ensemble vide est donc ouvert, toute assertion commençant par étant logiquement vraie.

[Nightmare]

R est bien ouvert et fermé (c'est vrai pour n'importe quel espace et munit de n'importe quelle topologie, puisque c'est dans la définition d'une topologie).

{1} est fermé ! Son complémentaire est ]-oo;1[ U ]1 ; +oo[ qui est une union d'ouvert donc ouverte.
]-oo;-1]U[1;+oo[ est bien fermé.

Au passage, tu auras surement remarqué qu'un intervalle ouvert est un ouvert et un intervalle fermé est un fermé.

[benekire2]

Effectivement, j'ai dit n'importe quoi ... pour l'intervalle ni ouvert ni fermé, prenons [0;1[ qui fera l'affaire :happy3:

[benekire2]

Pour la question 2 ; je trouve que c'est bizarre ... mais je trouve que Ix=I puisque I est un ouvert contenant x ... donc si y appartient à Ix il appartient à I donc Iy=I=Ix

Mais il y a forcément un problème de compréhension derrière je crois, où est le problème :doh: ? Merci :id:

[Nightmare]

Ix est la réunion de tous les intervalles ouverts contenant x et non la réunion de tous les ouverts :lol3:

[benekire2]

ben en fait quand je disais ouvert je sous entendais intervalle ouvert ... et donc je vois toujours pas ... vraiment, mettons que I=]0;1[ on est d'accord que Ix=I puisque I est un intervalle ouvert contenu dans I et contenant x ..?

[Doraki]

Prend un ouvert I qui ne soit pas un intervalle, pour voir.

[benekire2]

Salut doraki !

J'aime quand tu "détruit tout" dans ma tête à l'aide d'une seule et unique ligne :we: MErci, j'ai (enfin ) visualisé !!

Par contre du coup je vois parfaitement le truc maintenant, mais je vois pas trop comment le démontrer "carré-carré" ;

PS: La 3 par contre je pense avoir une preuve.

[Doraki]

C'est nightmare qui t'as induit en erreur en disant "soit I un ouvert".

En déroulant la définition de Ix, ça équivaut à quoi, "y est dans Ix" ?

2) Montrez que dans ce cas particulier, tout ensemble ouvert est aussi fermé

Montrer que les (n+rZ) sont fermés, je veux bien. (avec r>0)
Mais tous les ouverts, nan...

[Nightmare]

Montrer que les (n+rZ) sont fermés, je veux bien. (avec r>0)
Mais tous les ouverts, nan...

Coquille corrigée !

[benekire2]

merci doraki :)

sinon, comment je peut rédiger la 2 correctement ? En fait j'ai pas de "vraie" preuve.

Je sais juste que si y est dans Ix alors y se trouve dans le plus grand des intervalles ouverts contenant x contenu dans I (1) . Par conséquent x et y sont dans le même intervalle. On en déduit donc que l'intervalle (1) est aussi le plus grand intervalle ouvert contenant y et contenu dans I. Ainsi Ix=Iy

[benekire2]

Finalement toute la partie I j'ai réussi à la faire en rédigeant bien. Je commence la 2 demain et je te tient au courant. :we:

[benekire2]

Salut,

Je suis à la II-4 et j'ai montré que Z-{-1;1} n'était pas fermé, comment mopntrer ensuite que il y a une infinité de nombres premiers ?

Merci ! :id:

[Ben314]

Si l'ensemble des nombre premiers était fini, alors Z\{-1,1} serait une réunion finie de pZ. Or chaque pZ est ... donc ...