Topologie et limites

par **Nightmare** » 03 Sep 2010, 00:35

Salut,

pour les lycéens qui s'ennuient en cette rentrée, je propose l'exercice suivant :

On note l'ensemble constitué de l'ensemble vide et des parties de dont le complémentaire (dans ) est une partie finie. (*)

Une partie de est un voisinage d'un entier n si elle contient un ensemble de qui contient n. On dira qu'une suite d'entiers converge vers un entier a si pour tout voisinage de a, il existe un rang à partir du quel tous les termes de la suite sont contenus dans ce voisinage.(**)

Question : Soit injective. Etudiez la convergence (au sens défini ci-dessus) de la suite

(*)Pour ceux qui ont suivi ce fil, vous pourrez montrer que

est une topologie sur

(**)La convergence au sens habituelle est définit exactement de la même façon, où les "voisinages" sont alors des intervalles ouverts.

Amusez-vous bien, il n'y a aucune réelle difficulté, le résultat est juste "surprenant".

:happy3:

par **girdav** » 03 Sep 2010, 11:39

C'est le charme des topologies non séparées. C'est d'ailleurs un exemple de topologie où les singletons sont fermés mais la topologie est non séparé.

par **Nightmare** » 03 Sep 2010, 12:03

girdav a écrit:C'est le charme des topologies non séparée. C'est d'ailleurs un exemple de topologie où les singletons sont fermés mais la topologie est non séparé.

:happy3:

J'ai d'ailleurs volontairement mis un indice dans le titre :lol3:

par **girdav** » 03 Sep 2010, 12:06

Une faute d'orthographe ou de frappe pourrait perturber dans ce cas là.

par **Nightmare** » 03 Sep 2010, 12:09

? Je n'ai pas compris :triste:

Je parlais juste du "s" de limites qui ici n'est pas anodin.

:happy3:

par **girdav** » 03 Sep 2010, 12:20

C'est justement de ça dont je parlais. Un oubli de ce "s" pourrait fortement embrouiller.

par **Nightmare** » 03 Sep 2010, 19:39

Ah ! Dans ce cas, nous sommes d'accord :lol3:

par **artinian** » 03 Sep 2010, 23:11

Welcome in the seventies ou dit autrement va falloir étudier d'abord ce que les lycéens étudient...

par **Nightmare** » 03 Sep 2010, 23:20

?? Décidément, je ne comprends rien aux posts de mon propre topic.

par **Olympus** » 03 Sep 2010, 23:23

Nightmare a écrit:?? Décidément, je ne comprends rien aux posts de mon propre topic.

Comme il connait bien plus que nous Maths-forum ( 1 message ), il veut dire que c'est inhumain d'introduire des notions hors-programme aux pauvres lycéens .

par **girdav** » 04 Sep 2010, 09:01

artinian a écrit:Welcome in the seventies ou dit autrement va falloir étudier d'abord ce que les lycéens étudient...

Je crois que le but de ces topics est justement de faire sortir les lycéens du traditionnel calcul de dérivée et étude de signe puis tableau de variation. Ça permet en particulier d'éveiller la curiosité.

par **Nightmare** » 04 Sep 2010, 18:00

Pas de courageux inhumains?

par **benekire2** » 04 Sep 2010, 18:02

Si si je vais m'y attaquer, mais avant j'ai un développement asymptotique d'une somme de riemann a faire ( enfin j'y arrive pas ) et ton thread sur les fonctions partout continues nulle part dérivables .

par **girdav** » 05 Sep 2010, 17:44

Un topic pareil ne peut se contenter de rester en deuxième page : il mérite une remontée.

par **benekire2** » 05 Sep 2010, 17:50

Je trouve que la suite (f(n))n converge. C'est bien ça ? En tout cas c'est amusant !

par **Nightmare** » 05 Sep 2010, 17:54

Il va falloir préciser !

par **benekire2** » 05 Sep 2010, 18:30

Nightmare a écrit:Il va falloir préciser !

Et bien ce qui m'inquiète c'est qu'elle converge vers n'importe quel entier ...

par **girdav** » 05 Sep 2010, 18:35

benekire2 a écrit:Et bien ce qui m'inquiète c'est qu'elle converge vers n'importe quel entier ...

Le fait d'écrire la preuve devrait te rassurer.

par **benekire2** » 05 Sep 2010, 18:37

Je l'écrirais demain, j'ai déjà un truc a écrire ce soir ( je suis à la bourre .. ) mais j'ai tort ?

par **girdav** » 05 Sep 2010, 18:39

Je crois que tu as raison.

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