DM, théorème de darboux!

[Wins05]

Salut tout le monde,

Notre professeur nous a donné comme DM le théorème de darboux à démontrer ainsi que 2 autres théorèmes.

En ce qui concerne le théorème de darboux voilà ce qu'on doit démontrer :
s'il existe a et b deux élément de I où la fonction est dérivable vérifiant f'(a).f'(b) < 0 alors il existe c dans ]a;b[ tel que f'(c) = 0

Les indications données :

On suppose qu'on a f'(a) < 0 et f'(b) > 0 et en utilisant la définition de la dérivabilité en un point, de montrer :
Il existe alfa > 0 tel que si a < x < a + alfa alors f(x)
Et il existe beta > 0 tel que si b - beta < x < b alors f(x) < f(b) puis de montrer que la fonction f atteint son minimum entre a et b puis de conclure.

Pour la première partie de la résolution je crois avoir réussi par contre en ce qui concerne de montrer que la fonction admet un minimum dans cet intervalle, j'y arrive pas, ça parait trivial vu que la fonction est continu dans ce même intervalle, mais pour un DM faut le montrer.

Merci d'avance pour vos réponses.

[Timothé Lefebvre]

Bonjour,

moi j'appelais ça le TVI (théorème des valeurs intermédiaires).

A mon avis il y a plusieurs moyens, d'abord par topo.
Les connexes de l'ensemble R sont les intervalles. L'image d'un connexe par une application continue est un connexe donc un intervalle.

Ou sinon peut-être en utilisant une récurrence en posant .
On définit des suites puis on étudie les limites à + l'infini.

Sinon je crois que le TVI admet un corollaire du genre "soit I un intervalle et f une application de I alors f(I) est un intervalle". Ca doit se montrer en considérant la convexité des intervalles de R.

[Wins05]

Merci pour ta réponse, pour le moins qu'on puisse dire, rapide.

je connais bien le TVI mais celui ci s'applique sur une fonction monotonne
Cependant je ne parle pas de f mais de la première fonction derivé f'.

Donc je dois montrer le même truc que le TVI sans que la fonction dérivé ne soit pour autant continue.

merci encore pour ta réponse :)

[Wins05]

Up svp, ça urge :(

désolé et merci encore.

[dudumath]

Si ta dérivé est négative en a, la tangente à la courbe en ce point à une pente négative, donc ta courbe est localement décroissante, donc il existe alfa, telle que a < x < a + alfa alors f(x)
Et il existe beta > 0 tel que si b - beta < x < b alors f(x) < f(b) puis de montrer que la fonction f atteint son minimum entre a et b puis de conclure.

Si ta dérivé est positive en b, la tangente à la courbe en ce point à une pente positive, donc ta courbe est localement croissante, donc il existe Beta, telle que b - beta < x < ba alors f(x)
[a,b] est un intervalle fermé, le théorème des bornes atteintes te donnes que f([a,b]) est un intervalle fermé [c,d]

Donc c est atteint, par une certaine valeur p (f(p)=c) avec p dans [a,b])
c est le minimum de f sur [a,b] et c est différent de a et de b d'après ce que tu as montré avec l'existence de alpha et beta.

PAr définition d'un extremum, f'(c)=0

CQFD

[Wins05]

Mercii énormément pour ta réponse :) .

Sinon je bloque sur une autre question du DM, celle où on doit montrer que si f est injective sur I alors elle est monotone tout en sachant que f est continue sur ce même intervalle.

J'ai réussi à montrer que si f est monotone alors elle est injective ce qui est facile mais j'arrive pas à montrer le contraire.

Merci encore pour vos réponses.

[Wins05]

Voilà les indications que j'ai oublié de mettre :

Soit a < b deux éléments de I tel que f(a) < f(b) montrer alors que pour tout élément x de I tel que a < x < b on a f(x) < f(a) < f(b) puis conclure que f est strictement croissante, Faites de même pour le cas f (a) > f(b) puis conclure que f est dans tous les cas strictement monotone sur I .

[ryuuzaki005]

L'énoncé est faux !! f(a)

[DOUDOU59]

exactement,
Mr (Mlle) Wins05, une erreur c'est certainement glisser dans votre message.
Enoncé illogique.

[ryuuzaki005]

Pour la demonstration , tu n'as qu'a dessiner la courbe et paf t'auras la solution ! Raisonne par l'absurde

[Wins05]

Exact, f(a) < f(x) < f(b)