[TS+] Propriété de Darboux

[benekire2]

Petite correction , pas trop détaillée , quoi que ...
Ceux qui ne la veulent pas, ne lisez pas la suite ! Cela permettra de vous corriger, un tant soit peut que vous ayez chercher.

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Soit un réel quelconque de l'intervalle ]f'(a),f'(b)[
On pose qui est évidemment dérivable sur [a,b]de dérivée Montrons que il existe un réel de l'intervalle ]a,b[ tel que

g étant continue (vu qu'elle est dérivable ... ) elle admet et atteint son minimum en m qui appartient à [a,b]. On a: g'(a)g'(b)0 On peut donc écrire :


i.e il existe des x tels que est négatifs, i.e il existe des x tels que g(x)<g(a) Ainsi g(a) ne peut être le minimum de g sur [a,b] tout comme f(b) i.e il existe tel que

Ça doit le faire :id:

[benekire2]

Benekire > as-tu réfléchi à la réciproque? A savoir si une fonction qui vérifie le théorème des valeurs intermédiaire admet toujours une primitive ...

Ca a pas l'air trivial ça .. mais j'y avais jamais réfléchis ,

[benekire2]

Simple intuition, j'ai l'impression que non, parce que j'ai entendu que des fonctions discontinues en tout points vérifiaient le TVI et qu'il me semble qu'il me semble qu'il faut des points de continuité pour être une fonction dérivée.

La preuve est abordable niveau lycée ?

[Nightmare]

Simple intuition, j'ai l'impression que non, parce que j'ai entendu que des fonctions discontinues en tout points vérifiaient le TVI

Exact, je propose la suivante :

f : [0,1]->[0,1] définie comme suit :

Soit x=0,a1a2a3... (on impose, pour l'unicité, que ce développement est propre, ie qui ne se termine pas par une infinité de 9). Si la suite des termes impairs du développement décimal de x n'est pas périodique (à partir d'un certain rang), on pose f(x)=0. Sinon, si n est le rang à partir duquel la suite est périodique, on pose

Je te laisse le soin (en te prévenant que ce n'est pas facile) de montrer que cette fonction est discontinue en tout point et vérifie le TVI.

J'ai fournit un autre exemple plus théorique [url="http://maths-forum.com/showthread.php?t=102207"]ici[/url]

il me semble qu'il me semble qu'il faut des points de continuité pour être une fonction dérivée.

Combien en faut-il au minimum? :lol3: Ce n'est pas trivial non plus.

La preuve est abordable niveau lycée ?

Comme tu as pu le constater, non, mais ton exercice ne l'est pas vraiment non plus :lol3: (Cela dit, celui là l'est encore moins, mais demeure néanmoins très intéressant !)

[benekire2]

J'ai regardé un peu ce matin, et j'ai toujours pas montré la discontinuité de cette fonction. Et sur le fait qu'elle vérifie le tvi, encore moins !

Pour le nombre de points e discontinuité, j'ai fait une recherche google, et j'ai trouvé un nombre "négligeable" . Que cela veut-il dire ? Fini ? Dénombrable ?

[windows7]

salut bene

comment vas tu ? on va se boire un café cet aprem ? :zen:

trouve une suite de yn de [0,1] convergent vers le x donné par nightmare
ou les termes impaires sont non periodique.

[Ben314]

J'ai regardé un peu ce matin, et j'ai toujours pas montré la discontinuité de cette fonction. Et sur le fait qu'elle vérifie le tvi, encore moins !

Pour le nombre de points e discontinuité, j'ai fait une recherche google, et j'ai trouvé un nombre "négligeable" . Que cela veut-il dire ? Fini ? Dénombrable ?

Non, une partie de R est dite "négligeable" lorsqu'elle est "de mesure de Lebesgue nulle", mais pour comprendre le concept, il faut avoir fait un peu de... théorie de la mesure.
En résumé super simplifié, on définit la mesure de Lebesgue d'un intervalle [a,b] comme étant égal à b-a puis on cherche à étendre la notion à certaines parties plus compliquées de R (mais pas à toutes) tout en gardant certaines propriétés...

En fait tout ensemble fini ou dénombrable est négligeable, cela vient du fait que la mesure d'un singleton {a}=[a,a] est nulle et que la mesure d'une réunion au plus dénombrable d'ensemble disjoints est égale à la somme des mesures de ces ensembles. (par contre c'est faux pour une réunion quelconque)

Mais il existe aussi des ensembles non dénombrables de mesure nulle : le plus connu est sans doute l'ensemble triadique de Cantor formé des réels de [0,1] qui admettent au moins une écriture en base 3 n'utilisant que les chiffres 0 et 2 (et pas de 1)...

[benekire2]

Merci ben pour ces précision :id: On va peut être attendre alors avant de s'attaquer à ces question assez existentielles :we:

Xindows7 -->> C'est quand tu veut le café :lol3:

sinon, si je prend une suite y_n d'irrationnels convergent vers x, un nombre dont les chiffres impairs sont périodiques alors la suite image f(y_n) est constante et égale à 0, et donc ne converge pas vers f(x) qui est différent de 0.

Est-ce bon ?

Mon interrogation réside sur le fait que l'on peut construire des rationnels avec un développement décimal dont les chiffres impairs sont périodiques ... ça reste a éclaircir en tout cas !

[Nightmare]

En fait plus exactement, la dérivée d'une fonction continue est continue presque partout au sens de Baire, c'est à dire sur un ensemble au moins dense dans R.