Théorème des Accroissements Finis =)

[raito123]

Salut,

Tu peux stp me donner un exemple de cpmment montrer la divergence d'une suite??
Y a-t-il des suites ( fonctions ) usuelles?

[Nightmare]

raito > On parle de série ou de suite? Pour les séries tu tapes "critère + série" dans google tu auras surement ton bonheur.

[lapras]

Alors, un exercice plus difficile sur le TAF et un exercice simple sur les équivalents :

TAF :
Soient a et b deux réels tels que a < b et f une application définie et dérivable sur ]a,b[ telle que

Montrer que

(Tu pourras admettre le théorème de Darboux ou le démontrer si tu le souhaites mais c'est beaucoup plus difficile)

soit d tel que d<=b
Le théoreme de darboux assure que
f'(]a,d[) = I avec I un intervalle
supposons que I = ]-inf ; m]
alors le taf nous dit que
f(a) - f(d) <= m(a-d)
alors
f(a) <= m(a-d)+f(d)
en considérant la limite de f en a
c'est absurde
donc I = IR

[lapras]

Oui et non.
Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P tel que pour tout x, P(x)=exp(x)

:happy3:

Premiere méthode :
P'(x) = P(x) ce qui est bien sur imposisble pour un polynome
deuxieme méthode
Montrons que exp l'emporte sur tout polynome a l'infini
en effet, pour tout n , x^n/exp(x) = exp(n*ln(x) - x) = exp(x*( (n*ln(x))/x - 1))
or ln(x)/x tend vers 0 en +inf
donc
x*( (n*ln(x))/x - 1 tend vers -inf pour x tres grand
et donc
exp(x*( (n*ln(x))/x - 1) tend vers 0 au voisinage de l'infini
supposons exp(x) = an*x^n + ... + a1*x + 1
alors
exp(x)/exp(x) = 1 = (an*x^n + ... + a1*x + 1)/exp(x) ce qui tend vers 0 et non vers 1
contradiction

[Nightmare]

Salut :happy3:

Je n'ai pas compris ta conclusion "Alors I=R" ?

[lapras]

J'ai supposé que I = ]-inf ; m]
et on obtiens une contradiction( m réel)
donc I = ]-inf ; +inf[
j'ai grillé un peu les étapes : il est clair, par l'absurde et avec la meme méthode que I != [p ; m]
donc déja on est sur qu'au moins une des borne c'est l'infini
on prend donc I = ]-inf ; m[
et on obtient de meme une contradiction
I = IR

[Nightmare]

C'est bancal mais ça marche a priori.

[lapras]

Oui je n'ai pas rédigé explicitement le cas I = ]p ; +inf[
dans ce cas on condiere d >= a
alors
f(d) - f(b) >= (d-b)*p
(TAF en sur ]d ; b[ )
ce qui implique f(d) >= (d-b)*p + f(b)
en condiérant la limite en b , c'est absurde
donc contradiction
on a bien I = IR
j'avoue c'est pas tres rigoureux ma démo...