[TS+] Propriété de Darboux

par **benekire2** » 01 Juil 2010, 10:57

Bonjour ,

Je vous propose un exercice à prise d'initiative, qui reste cela dit très connu :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle[a,b].
Montrer que f' prend toutes les valeurs de l'intervalle ]f'(a),f'(b)[

Bon travail :happy3:

par **windows7** » 01 Juil 2010, 11:16

ca donne quoi si f'(a)= f'(b)?

c'est carrement immediat ce resultat non ?

par **benekire2** » 01 Juil 2010, 11:20

Salut windows7 !
Ici on envisage tout les cas possibles. :zen:

par **ffpower** » 01 Juil 2010, 11:24

Je ne connais pas vraiment le programme de Terminale, mais je suis pas sur que cet exo puisse se faire avec uniquement des outils terminale.

par **Nightmare** » 01 Juil 2010, 11:29

A priori, savoir qu'une fonction continue sur un segment admet un maximum (et savoir que ce point est un zéro de la dérivée) suffit.

par **windows7** » 01 Juil 2010, 11:32

oui

enfin je vous deux demo une en raisonement en analyse simple et une autre plutot topologique

vu que c'est ecrit TS on va prendre l'analyse.

on prend l dans ]f'a f'b [

on pose g(x)= f(x) -lx

g' = f' - l

on voit g'a < 0 et g'b > 0

on constate que g admet un min puiquelle est continue sur le compact
( on remarque que c'est ni a ni b d'ailleurs )

donc il existe k dans ]a,b[ tq g(k)=0

autrement dis pour tout l dans ]f' a f' b [

il existe k dans ]a,b[ tq f'(k)=l

le resultat non ?

par **Nightmare** » 01 Juil 2010, 11:33

Défi pour les lycéens windows7, t'excite pas :lol3:

par **windows7** » 01 Juil 2010, 11:36

mdr !!

oui mais faut dire que l'on ne nous propose pas grand chose en 'sup'

d'ailleurs tu m'avais promis de nous proposer qq defi me semble t'il :++:

( nb : Doraki serait prié dans ce cas d'attendre plus de 5 min avant de poster sa reponse :zen: )

par **Ben314** » 01 Juil 2010, 11:36

ffpower a écrit:Je ne connais pas vraiment le programme de Terminale, mais je suis pas sur que cet exo puisse se faire avec uniquement des outils terminale.

Le seul théorème "profond" utile ici est celui qui dit qu'une fonction continue sur un intervalle fermé [a,b] atteint ses bornes sur cet intervalle et effectivement, je suis pas trop sûr qu'il soit vu en terminale...
De plus, à mon avis, ce qui est trés en dehors de "l'esprit" du programme (officiel) de terminale, c'est de considérer des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas continue et la propriétée que Béné. demande de montrer n'a évidement d'intérêt que dans ce contexte là.

Aprés, tout ceux qui ne connaissent pas le résultat peuvent quand même chercher...

par **benekire2** » 01 Juil 2010, 11:36

Nightmare a écrit:A priori, savoir qu'une fonction continue sur un segment admet un maximum (et savoir que ce point est un zéro de la dérivée) suffit.

Il faut a priori juste savoir qu'une application continue sur un segment atteint ses bornes et transforme un segment en un segment.

par **benekire2** » 01 Juil 2010, 11:39

Ben314 a écrit:Le seul théorème "profond" utile ici est celui qui dit qu'une fonction continue sur un intervalle fermé [a,b] atteint ses bornes sur cet intervalle et effectivement, je suis pas trop sûr qu'il soit vu en terminale...
De plus, à mon avis, ce qui est trés en dehors de "l'esprit" du programme (officiel) de terminale, c'est de considérer des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas continue et la propriétée que Béné. demande de montrer n'a évidement d'intérêt que dans ce contexte là.

Aprés, tout ceux qui ne connaissent pas le résultat peuvent quand même chercher...

J'ai été grillé ...

Cela dit c'est assez évident graphiquement comme théorème, un peu comme le théorème de Rolle, et c'est hors programme au lycée.

Après ce théorème montre qu'il n'y a pas que des fonctions continues qui vérifient le TVI, et c'est pas du tout dans l'esprit du programme qui cherche a cacher de telles fonctions. Il faut le voir comme une "ouverture" . Bien sûr l'exercice n'a d'intérêt que pour ceux qui ne le connaissent pas ..

par **windows7** » 01 Juil 2010, 11:43

il reste tjs le defi de nightmare sur l'ineg des polynomes ( a priori le truc des polynomes symetriques marche mais ca va chercher loin :mur: )

sinon il reste ' mon propre ' defi sur la periode

voila voila vous avez de quoi faire pendant que nous on s'ennuie

par **Nightmare** » 01 Juil 2010, 11:58

benekire2 a écrit:J'ai été grillé ...

Cela dit c'est assez évident graphiquement comme théorème, un peu comme le théorème de Rolle, et c'est hors programme au lycée.

Il ne me semble pas très évident visuellement moi ! A part quand la fonction est assez régulière, mais dans ce cas la dérivée est continue et on perd l'essence du problème...

Windows7 > Ok je te pondrais un exo pour cette aprem :lol3:

par **benekire2** » 01 Juil 2010, 13:40

nightmare -->> C'est pas visuellement parlant qu'une fonction continue sur un segment atteigne ses bornes ?

par **Nightmare** » 01 Juil 2010, 14:11

Au temps pour moi, je croyais que tu parlais du théorème de Darboux.

par **benekire2** » 01 Juil 2010, 14:22

La méthode de Windows7 est celle que j'ai utilisé. Cependant, le plus dur, j'ai trouvé, a été de justifier que le minimum de g n'est pas atteint en a ou b , en supposant f'(a)f'(b)<0

par **windows7** » 01 Juil 2010, 19:01

Nightmare a écrit:Il ne me semble pas très évident visuellement moi ! A part quand la fonction est assez régulière, mais dans ce cas la dérivée est continue et on perd l'essence du problème...

Windows7 > Ok je te pondrais un exo pour cette aprem :lol3:

tu m'as truandé ! c'est presque 21 h :zen:

par **benekire2** » 01 Juil 2010, 19:11

on est toujours après midi cela dit :zen:

par **windows7** » 01 Juil 2010, 19:26

lol il a du zapé

par **Nightmare** » 01 Juil 2010, 20:00

Benekire > as-tu réfléchi à la réciproque? A savoir si une fonction qui vérifie le théorème des valeurs intermédiaire admet toujours une primitive ...

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