DM de Terminale S Suite : Série de Riemann.

[Nelliel]

Voiçi le sujet :
On appelle "série" toute suite définie par une somme.
Les séries de Riemann sont les suites définis pour n appartenant au entier naturels privé de 0 par :

Un = Somme pour k=1 jusqu'au rang n 1/k^"alpha".
(Désolé pour l'écriture qui n'est pas très explicite. Je ne comprend moi-même pas grand-chose à ce qu'il y a d'écrit sur ma feuille >.<)

Nous allons étudier le comportement de ces séries pour certaines valeurs entières de alpha.

1) Démontrer que la suite (Un) est croissante (quelle que soit la valeur de alpha appartenant aux entiers naturels).

2) Dans cette question : alpha=1

On a donc : Un= somme pour k=1 jusqu'au rang n 1/k
Cette série porte encore le nom d'"harmonique".

a_ Démontrer que, pour tout n appartenant aux entiers naturels : U(2n)'supérieur ou égal à' 1/2 + Un

b_ En déduire que (Un) diverge.

3) Dans cette question alpha=2
On a donc : Un= somme pour k=1 jusqu'au rang n 1/k²

a_Démontrer que pour tout entier k 'supérieur ou égal à' 2, on a :

1/k² 'inférieur ou égal à' 1/(k-1) - 1/k

b_ En déduire que (Un) est majorée par 2.

c_ Conclure.

4) Dans cette question, on suppose alpha 'supérieur ou égal à' 3.

Démontrer que (Un) converge.


Aide : Un = 1/1^alpha +1/2^alpha+1/3^alpha+...+1/n^alpha.
Avec alpha=1, Un=1+1/2+1/3+...+1/n.
_____




Voilà, rien que ça x).
La première question 'il suffit' de faire Un - Un+1, ça derait pas être trop compliqué. Enfin je crois que tout se simplifie.

Pour la suite je me sens quelque peu dépassée...
Merçi d'avance pour ce qui prendront de leur temps pour m'écaircir :3.

[Jota Be]

Bonsoir, calculer U_n-U_(n+1) va poser problème. Posez plutôt U_(n+1)-U_n. Voyez si cette différence est positive ou négative et déduisez-en le comportement général de la suite.

[Nelliel]

Pardon !
Bien évidemment, je voulais dire U(n+1) - Un.
On obtient donc U(n+1) - Un = 1/(n+1)^alpha. Le problème c'est que ça tend vers 0, non ? Alors je ne sais pas comment démontrer que c'est croissant... --'

[Jota Be]

Ce que vous avez trouvé est positif pour tout n, non ?

[Nelliel]

Ha oui c'est vrai ça.
Mais la limite tend vers 0, non ?
Alors est-ce que la suite est croissante juste parce que ce que j'ai trouvé est positif ? Ne me dites pas que je me compliques la vie, c'est pas normal venant de moi x).

[Jota Be]

Ha oui c'est vrai ça.
Mais la limite tend vers 0, non ?
Alors est-ce que la suite est croissante juste parce que ce que j'ai trouvé est positif ? Ne me dites pas que je me compliques la vie, c'est pas normal venant de moi x).

Ce que vous dites n'est pas tout à fait juste ici.
Pourquoi parlez-vous de limites sans préciser en quoi ?
Elle est croissante, et semble être majorée, ce que vous avez sans doute compris mais mal exprimé. En effet, en plus l'infini, les valeurs de U_n augmentent mais très "lentement".
De même, une limite ne tend pas, puisqu'une limite est un réel.

[Nelliel]

D'accord. Donc si j'ai bien compris, je me complique la vie à parler de limite.
Oui, c'est vrai que quand on "découvre" le signe de U(n+1) - Un on voit si elle est croissante ou décroissante.
Merçi beaucoup pour ces quelques éclaircissements, comme quoi même mes bases ne sont pas bien acquises.

[Nelliel]

Pour la question 2-b) ;
Comment prouve-t-on qu'une suite est divergente ?
Et comment montre-t-on qu'elle est majorée par un entier ? :/

[Jota Be]

Bonjour,
Quelle est la définition d'une suite divergente ?

[Nelliel]

Bonsoir !
Hé bien, elle n'est pas convergente. Mais je ne sais pas vraiment ce qu'i faut démontret au juste.

[Jota Be]

pour la divergence, il faut montrer que la suite admet une limite infinie ou qu'elle n'a pas de limite, puisque stricto sensu, une suite diverge vers + ou - l'infini si tout intervalle de type [A; +inf[ (respectivement ]- inf; A]) contient tous les termes Un à partir d'un certain rang n (notion de limites)