Système d'inéquation

[lety59]

Bonjour à tous!
Bon voilà j'ai un DM a faire pour la rentrée et y'a un des exos que je comprends pas trop! Ce serait gentil si quelqu'un si quelqu'un pouvait m'aider :girl2: merci d'avance!

Le conseil municipal d'une commune décide d'améliorer son jeu d'effets lumineux en vue des fêtes de fin d'année 2001. Il lui faudra au moins 800 m de guirlandes lumineuses pour la rue principale, au moins 12 "étoiles des neiges" pour les carrefours stratégiques et au moins 8 "sapins de noël" pour les artères commerçantes.

L'entreprise Fiesta propose le lot A constitué de 100 mètres de guirlandes, 2 "étoiles des neiges", 2 "sapins de Noël" au prix de 700€. L'entreprise Réveillon propose le lot B constitué de 200 mètres de guirlandes, 2 "étoiles des Neiges"; 1 "sapin de noel" au prix de 980€.
On se propose de déterminer le nombre x de lots A et le nombre y de lots B à acheter pour que la dépense soit minimum.

Dans la suite de l'exercice x et y sont des nombres entiers.

1)a) Déterminer un système d'inéquations dont les inconnues x et y traduisent les contraintes.
b) Démontrer que ce systeme équivaut au systéme suivant:
x >/= (sup ou égal) 0
y>/=0
x+2y>/=8
x+y>/= 6
2x+y>/=8

c)A tout couple (x;y) on associe le point M de coordonnées (x;y) dans un repère orthonormé (O, I, J ) (unité graphique: 2cm)
Déterminer graphiquement la région du plan contenant les points M dont les coordonnées vérifient le système (S).

2) A l'aide du graphique déterminer si les commandes suivantes satisfont les contraintes:
a)commande C1: 7lots A et 1 lot B
b)Commende C2: 3 lots A et 2 lots B
c)commance C3: 6lots A et 1lot B
On justifiera par une brève phrase les trois réponses.

3)a)Exprimer en fonction de x et y la dépense D occasionnée par l'achat de x lots A et y lots B.

b) Montrer que la commande C1 occasionne une dépense de 5 880 €.
Tracer sur le graphique précédent la droite DELTA correspondant à une dépense de 5880€.
A l'aide du graphique précédent, indiquer si une dépense de 5 880 € est suffisante pour couvrir les besoins de la commune.
Est-elle minimum ?

c) Expliquer comment le graphique permet de déterminer la commande à passer aux deux entreprises pour que la dépense soit minimum.
Donner les coordonnées de I et le montant de cette dépense minimum.


voilà merci à tous ceux qui auront le courage car j'avoue que c assez long

merci d'avance

bonne soirée

[mary123]

1) Il te faut

- 800 m de guiralandes
- 12 étoiles
- 8 sapins


Le lot A :
- 100 m de guirlandes
- 2 étoiles
- 2 sapins


Le lot B
- 200 m d guirlandes
- 1 sapin
- 2 étoiles


Donc si on note x le nombre de lots A et y le nombre de lots B

Pour les guirlandes
------------------
Avec x lots A (100 m) et y lots B (200m) on doit avoir plus de 800 m de guirlandes

100x + 200y >= 800

Pour les étoiles :
--------------
Avec x lots A (2 étoiles) et y lots B (2 étoiles) on doit avoir plus de 12 étoiles

2x + 2y >= 12


Pour les sapins :
-------------
Avec x lots A (2 sapins) et y lots B (1 sapin) on doit avoir plus de 8 sapins
2x + 1y >=8


Le nb de lots A et B doit etre supérieur à 0
-----------------------------------------

x >= 0
y >= 0



Donc le système est :
--------------------

100x + 200y >= 800
2x + 2y >= 12
2x + 1y >=8
x >= 0
y >= 0

b) En simplifiant la première équation par 8 et la deuxième par 2 on a :

x + 2y >= 8
x + y >= 6
2x + 1y >=8
x >= 0
y >= 0

[mary123]

c) Il te faut maintenant tracer les droites et rayer les parties du plan qui ne conviennent pas

x + 2y >= 8
-----------

2y >= 8 - x
y >= 4 - 0.5x

On trace la droite y = 4 - 0.5x et on raye tout ce qui est "dessous" la droite

x + y >= 6
----------

y >= 6 - x
On trace la droite y = 6 - x et on raye tout ce qui est "dessous" la droite


2x + y >=8
-----------

y >= 8 - 2x
On trace la droite y = 8 - 2x et on raye tout ce qui est "dessous" la droite


x >= 0
y >= 0

------


On raye tout ce qui est négatif

[mary123]

2) A l'aide du graphique déterminer si les commandes suivantes satisfont les contraintes:
a)commande C1: 7lots A et 1 lot B
b)Commende C2: 3 lots A et 2 lots B
c)commance C3: 6lots A et 1lot B
On justifiera par une brève phrase les trois réponses.

- La commande C1 satisfait les contraintes car le point de coordonnées (7;1) est dans la partie non rayée. Le nombre de mètres de guirlandes, de sapins et d'étoiles est supérieur à celui qu'on voulait.

- La commande C2 ne satisfait pas les contraintes car le point de coordonnées (3;2) est dans la zone rayée. Le nombre de mètres de guirlandes, de sapins et d'étoiles est inférieur à celui qu'on voulait.

- La commande C3 satisfait aux contraintes car le point de coordonnées (6;1) est sur la droite y = 4 - 0.5x. Le nombre de mètres de guirlandes, de sapins et d'étoiles est exactement celui qu'on voulait

Les points C1, C2 et C3 sont représentés sur le graphique ci-dessous

3)a)Exprimer en fonction de x et y la dépense D occasionnée par l'achat de x lots A et y lots B.

Le lot A coute 700 euros et le lot B coute 980 euros donc
D(x,y) = 700x + 980 y

[mary123]

b) Montrer que la commande C1 occasionne une dépense de 5 880 €.
Tracer sur le graphique précédent la droite DELTA correspondant à une dépense de 5880€.
A l'aide du graphique précédent, indiquer si une dépense de 5 880 € est suffisante pour couvrir les besoins de la commune.
Est-elle minimum ?

- La commande C1 : 7 lots A et 1 lot B donc la dépense est
7 * 700 + 1 * 980 = 5880

- D(x,y) = 700x + 980 y = 5880
70x + 98y = 588 (en divisant par 10)
35x + 49 y =294 (en divisant par 2)
5x + 7y = 42 (en divisant par 7)

On trace donc la droite 5x + 7y = 42
ou 7y = 42 - 5x
ou y = 6 -(5/7x)


Je trace la doite y = 6-(5/7)x sur le graphique (mon graphique n'est pas trop précis car fait sur feuille blanche, il faut le faire sur une feuille petits carreaux : 4 carreaux = 1 unité)

c) Expliquer comment le graphique permet de déterminer la commande à passer aux deux entreprises pour que la dépense soit minimum.
Donner les coordonnées de I et le montant de cette dépense minimum.

On déplace la droite tracée précédemment en parallèle jusqu'à ce quelle entre complètement dans la zone rayée. Ceci se fait au point I de coordonnées (4;2). La dépense minimale est pour 4 lots A et 2 lots B. Cette dépense est de : 4 * 700 + 2 * 980 = 4760 euros

[mary123]

Voila j'espère que c'est clair ...

[lety59]

Merci pour ton aide, j'vais travailler ça ce soir ou demain! encore merci d'avoir pris le temps de m'aider j'espére comprendre et réussir à le faire seule, bonne soirée à vous!