Système d'équations

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posso49
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Système d'équations

par posso49 » 17 Mai 2018, 09:32

Bonjour,
Je cherche de l'aide pour résoudre ce système de 3 équations à 3 inconnues :
x²+xy+y²=39
y²+yz+z²=201
z²+zx+x²=147
Merci



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Ben314
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Re: Système d'équations

par Ben314 » 17 Mai 2018, 11:34

Salut,
posso49 a écrit:Bonjour,
Je cherche de l'aide pour résoudre ce système de 3 équations à 3 inconnues :
(E1) x²+xy+y²=39
(E2) y²+yz+z²=201
(E3) z²+zx+x²=147
Merci
Je trouve rien de particulièrement simple.
Une méthode :
- (E3)-(E2) permet d'écrire z comme fraction rationnelle de s=y+x et d=y-x .
- (E2)-(E1) permet d'écrire s comme fraction rationnelle de d.
- (E1) donne alors une fraction rationnelle en d dont le numérateur est bicarré donc on trouve facilement les 4 solutions.
Modifié en dernier par Ben314 le 17 Mai 2018, 13:30, modifié 5 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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Lostounet
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Re: Système d'équations

par Lostounet » 17 Mai 2018, 13:11

Salut, une possibilité:


x²+xy+y²=39
y²+yz+z²=201
z²+zx+x²=147

Donc:
x^3-y^3=39(x-y)
y^3-z^3=201(y-z)
z^3-x^3=147(z-x)

Par sommation: z=3y-2x

En réinjectant dans E2:

4 x^2 - 14 x y + 13 y^2 = 201

Avec E1: x²+xy+y²=39

On élimine le terme xy en ajoutant 14E1:
2x^2+3y^2=83


Il s'agit de résoudre le système:
x^2+xy+y^2=39
2x^2+3y^2=83

posso49
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Re: Système d'équations

par posso49 » 20 Mai 2018, 19:37

Merci pour vos réponses.
La résolution du système de Lostounet donne les 2 solutions x=2, y=5, z=11 et x=-2, y=-5, z=-11.

pascal16
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Re: Système d'équations

par pascal16 » 20 Mai 2018, 20:26

j'ai tracé les formes sou géogebra.
en z négatif, il y aurait une troisième solution (vers (6.5 -0.4 -14))
et pareil en z positif
soit 4 solutions.

il semblerait que des signes aient sautés, du genre racine(x²) = 4 -> x=4 ou -4

posso49
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Re: Système d'équations

par posso49 » 20 Mai 2018, 21:15

Il y a effectivement 2 autres solutions que j'avais oublié : x=rac(289/7), y=-rac(1/7) et x=-rac(289/7), y=rac(1/7).

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Lostounet
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Re: Système d'équations

par Lostounet » 20 Mai 2018, 21:53

posso49 a écrit:Merci pour vos réponses.
La résolution du système de Lostounet donne les 2 solutions x=2, y=5, z=11 et x=-2, y=-5, z=-11.


Salut,

x^2+xy+y^2=39
2x^2+3y^2=83,

En soustrayant à (E2) 3 fois (E1) pour éliminer y^2, on obtient:

x^2 + 3xy - 34 = 0 , ce qui signifie que , on écrit (E1) en fonction de ce y:


En multipliant les deux membres par 9x^2, et par factorisation:


On obtient donc 4 solutions x= 2, -2, mais aussi deux autres.

posso49
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Re: Système d'équations

par posso49 » 20 Mai 2018, 22:41

On peut aussi considérer E1 comme une équation du second degré en x et exprimer x en fonction de y que l'on reporte dans E2.

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Lostounet
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Re: Système d'équations

par Lostounet » 20 Mai 2018, 23:17

posso49 a écrit:On peut aussi considérer E1 comme une équation du second degré en x et exprimer x en fonction de y que l'on reporte dans E2.


On peut tout faire, mais les calculs deviennent plus ou moins laborieux...
Donc si y s'exprime facilement en fonction de x^2 et x sans racines, il vaut mieux ne pas s'en priver :D

 

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