1 er : systeme a 2 equations

[Anonyme]

Bonjour tout le monde ceci est un probleme d un DM en 2 exercices ceci est le 2 eme !


Un collier est composé de grosses et de petites perles (moins de 200 au total ). Si on remplace 70%des grosses perles par des petites , le poids diminue de 60%
Si on remplace 60% des petites perles par des grosses , le poids augmente de 70%
ON se propose de trouver le nombre de perles .
1)On note g le nombre de grosses perles et p le nombre de petites perles.
On note M la masse d une grosse perle et m la masse d une petite perle .
Traduire l enoncé par un systeme a 2 equations , note ( S1 )

2) a) en posant X=M/m, montrer que le systeme (S1) s ecrit aussi

gx-7g-6p=0
(7g-6p)x+13p=0

b) en deduire que 49g²-36p² µ+ 13 gp = 0 (equationE1)

c) verifier que E1 est equivalente a (6p-49/6g) (6p+6g) = 0

d) expliquer pourquoi on obtient necessairement p=49k et g=36k (ou k est un entier naturel non nul )

3) Conclure , en repondant a la question :quel est le nombre de perles du collier ?


PS : j ai fait le 1) apres ..... je bloque !!!

merci d avance a celui qui trouve :]

[Chimerade]

Bizarre ! Bizarre !

Ce problème a un problème, ou alors c'est moi qui ai un problème !

1) me donne :

0,3gM+(p+0,7g)m=0,4(gM+pm)
(g+0,6p)M+0,4pm=1,7(gM+pm)

2) Je divise les deux membres de chacune de ces deux équations par (0,1*m) et j'obtiens :

gX-6p-7g = 0
X(7g-6p)+13p=0

soit encore

7g-6p = -13p/X
7g+6p=gX

En les multipliant membre à membre, on élimine X :

49g²-36p²=-13gp

soit 49g²+13gp-36p²=0

On peut considérer cette équation comme une équation de second degré en g. Le discriminant est (13p)²+4*49*36p² = (85p)², d'où les racines g1=(36/49)p et g2=-p, et la factorisation :

(g+p)*(49g-36p)=0

Il en résulte, puisque p et g ne peuvent être nuls tous deux, que :

(49g-36p)=0
ou
49g=36p

Mais comme g et p sont des entiers, et que 36 et 49 sont premiers entre eux, 49 divisant 36p et premier avec 36 doit diviser p. Il existe donc k tel que :
p=49k
d'où il résulte que g=36k

Le nombre de perles est donc : g+p = (49k+36k) = 85 k

Cependant, et c'est là que c'est bizarre, pour prendre 70% de g, il faut que (7*36k)/10, soit (7*18*k)/5 soit un nombre entier et par conséquent, que k soit un multiple de 5. De même, pour pouvoir prendre 60% des petites perles, il faut que (3*49k)/5 soit un nombre entier, et que k soit un multiple de 5. Ainsi, la plus petite solution possible me semble être g+p=85*5=425. Or on a précisé que le nombre total de perles n'excédait pas 200...Alors, soit le problème n'a pas de solution, soit c'est moi qui ai raté un épisode...

Quelqu'un peut-il confirmer ?

[Chimerade]

Totalement d'accord avec le raisonnement.
...
Mais pour ce qui est du raisonnement de la résolution, rien à dire donc ça ne doit pas être toi qui a un problème (ou alors on est 2).

Merci, j'ai eu peur ! :peur: :peur: :peur: