Dm sur les suites 1er S

[Anonyme]

Bonjour, voila j'ai un dm de premiere s mais la je bloque alors voici l'énoncé

Soit la suite (un) définie pour n>ou egal a1 par u1=0 et un+1=1÷(2-un)

1. Calculer les termes de la suite (un) puis les valeurs de 1÷(un-1),jusqu'au rang 7.

2. Emettre une conjecture sur une expression de 1÷(un-1) en fonction de n

3. En déduire une conjecture sur une expression de un en fonction de n. Tester cette conjecture en calculant la valeur de u8.

4. Demonstrations des conjectures:
On considere la suite (vn) est définie par vn=1÷(un-1) pour tout n >ou egal a 1
a. Exprimer vn+1 en fonction de un+1 puis en fonction de un.
b. En deduire la valeur de vn+1 - vn. Que peut on en deduure sur (vn)?
c. Determiner l'expression de vn en fonction de n. Puis l'expression de un en fonction de n.



Merci de votre aide!

[titine]

Bonjour, voila j'ai un dm de premiere s mais la je bloque alors voici l'énoncé

Soit la suite (un) définie pour n>ou egal a1 par u1=0 et un+1=1÷(2-un)

1. Calculer les termes de la suite (un) puis les valeurs de 1÷(un-1),jusqu'au rang 7.

As tu calculer u(2) , u(3) , ... , u(7) ?

Je suppose que tu dois calculer 1/(u(n) - 1) , pas 1/(u(n-1)).
C'est bien ça ?
Donc il faut que tu calcules 1/(u(1) - 1) , 1/(u(2) - 1) , ..., 1/(u(7) - 1)

[Anonyme]

As tu calculer u(2) , u(3) , ... , u(7) ?

Je suppose que tu dois calculer 1/(u(n) - 1) , pas 1/(u(n-1)).
C'est bien ça ?
Donc il faut que tu calcules 1/(u(1) - 1) , 1/(u(2) - 1) , ..., 1/(u(7) - 1)

Bonjour,
Oui j'ai calculé u(2), u(3) jusqu'à u(7)
Oui je dois calculer 1/u(n)-1
Oui voila je l'ai fait aussi jusque là j'y suis arrivée mais c'est à partir de la deuxième question que je bloque

[titine]

Dis moi ce que tu as trouvé pour 1/(u(1) - 1) , 1/(u(2) - 1) , .....

Normalement tu dois remarquer quelque chose .... Il semble que , plus généralement , 1/(u(n) - 1) = ...

[titine]

Alors, où en es tu ?

[Anonyme]

Dis moi ce que tu as trouvé pour 1/(u(1) - 1) , 1/(u(2) - 1) , .....

Normalement tu dois remarquer quelque chose .... Il semble que , plus généralement , 1/(u(n) - 1) = ...

U1=0
U2= -1
U3= -1/2
U4= -2/3
U5= -3/4
U6= -5/8
U7= -8/13

Ben je ne remarque pas de coefficient entre

[Anonyme]

Alors, où en es tu ?

J'ai aussi calculé la suite (Un)
U(n+1)= 1/ 2-U(n)

Je trouve
U1=0
U2= 1/2
U3= 2/3
U4= 3/4
U5= 4/5
U6= 5/6
U7= 6/7

[titine]

U1=0
U2= -1
U3= -1/2
U4= -2/3
U5= -3/4
U6= -5/8
U7= -8/13

Ben je ne remarque pas de coefficient entre

Non ce n'est pas ça.

[titine]

J'ai aussi calculé la suite (Un)
U(n+1)= 1/( 2-U(n))

Je trouve
U1=0
U2= 1/2
U3= 2/3
U4= 3/4
U5= 4/5
U6= 5/6
U7= 6/7

Oui, ça c'est exact.

Donc 1/(u1 -1) = 1/(0-1) = -1
1/(u2 - 1) = 1/(1/2 - 1) = -2
1/(u3 - 1) = ....


Il semble que 1/(un - 1) = ...

[Anonyme]

Non ce n'est pas ça.

Où me suis je trompée?;)

[Anonyme]

Oui, ça c'est exact.

Donc 1/(u1 -1) = 1/(0-1) = -1
1/(u2 - 1) = 1/(1/2 - 1) = -2
1/(u3 - 1) = ....


Il semble que 1/(un - 1) = ...

Hum.. je ne vois pas vraiment

[Anonyme]

Oui, ça c'est exact.

Donc 1/(u1 -1) = 1/(0-1) = -1
1/(u2 - 1) = 1/(1/2 - 1) = -2
1/(u3 - 1) = ....


Il semble que 1/(un - 1) = ...

Ah hum si je prends U3= 1/ (2/3-1) = -3
Et U4= 1/ (3/4-1) = -4
Donc ça me donne l'opposé de n?

[titine]

Ah hum si je prends U3= 1/ (2/3-1) = -3
Et U4= 1/ (3/4-1) = -4
Donc ça me donne l'opposé de n?

Oui en effet il semble que 1/(un- 1) = -n
C'est notre conjecture.

Si cette conjecture est exacte cela signifie que 1/(un - 1) = -n donc que un - 1 = -1/n donc que un = 1 - 1/n.

Vérifie cette conjecture en calculant u8 = 1/(2 - u7) puis en calculant 1 - 1/8. Trouves tu bien le même résultat ?

[titine]

4. Demonstrations des conjectures:
On considere la suite (vn) est définie par vn=1÷(un-1) pour tout n >ou egal a 1
a. Exprimer vn+1 en fonction de un+1 puis en fonction de un.

v(n) = 1/(u(n) - 1)
Donc v(n+1) = 1/(u(n+1) -1)
Puis remplace u(n+1) par 1/(2 - u(n))
Ça donne v(n+1) = .........

[Anonyme]

Oui en effet il semble que 1/(un- 1) = -n
C'est notre conjecture.

Si cette conjecture est exacte cela signifie que 1/(un - 1) = -n donc que un - 1 = -1/n donc que un = 1 - 1/n.

Vérifie cette conjecture en calculant u8 = 1/(2 - u7) puis en calculant 1 - 1/8. Trouves tu bien le même résultat ?

Ah d'accord, je vois mieux la!

[Anonyme]

v(n) = 1/(u(n) - 1)
Donc v(n+1) = 1/(u(n+1) -1)
Puis remplace u(n+1) par 1/(2 - u(n))
Ça donne v(n+1) = .........

Je ne comprends pas trop là

[titine]

Qu'est ce que tu ne comprends pas ?

On te dit que v(n) = 1/(u(n) - 1)
Donc v(n+1) = 1/(u(n+1) - 1)

Ça tu comprends ?

[Anonyme]

Qu'est ce que tu ne comprends pas ?

On te dit que v(n) = 1/(u(n) - 1)
Donc v(n+1) = 1/(u(n+1) - 1)

Ça tu comprends ?

Oui oui ça je comprends

[Anonyme]

Non ce n'est pas ça.

Je viens de comprendre.
U(n)= 1/ U(n)-1
Donc j'utilise le U(n) trouvé avant avec la suite U(n+1)= 1/ 2-U(n)

Donc U(2)= 1/ (1/2) -1 = 1/ (-1/2) = -2

Si je comprends bien, on utilise les résultats de la suite précédente?

[titine]

Ce n'est pas clair.
Tu confonds les termes de la suite (un) et ceux de 1/(un - 1)

On a :
u(1)=0 , u(2) =1/2 , u(3)= 2/3 , u(4)=3/4 , ...

Et :
1/(u(1)-1)=-1 , 1/(u(2)-1)=-2 , 1/(u(3)-1)=-3 , 1/(u(4)-1)=-4 , ...

Ok ?

2) conjecture : 1/(u(n)-1) = -n

3) conjecture pour u(n) :
1/(u(n)-1) = -n donc u(n)-1 = -1/n donc u(n) = 1- 1/n

4) a) on sait que v(n) = 1/(u(n) - 1)
Donc v(n+1) = 1/(u(n+1) - 1)

4)b) v(n+1) = 1/(u(n+1) - 1)
Mais on sait que par définition de la suite (un) : u(n+1) = 1/(2 - u(n))
Donc v(n+1) = 1/(1/(2 - u(n)) - 1)
Tu comprends ?
Simplifie maintenant v(n+1) = .......