Sur les équations différentielles

[nico033]

Bonsoir, voici un exerccie que jessaye de faire afin de mentrainer, et je narrive pas a tout faire, pourriez vous maider sil vous plait merci

voici le sujet:

La fonction f est derivable strcitement positive sur [0,+infini[ et satisfait l'équation diff:
(E): y' = -1/20y*(3- ln y)
démontrer l'équivalence suivante:
une fonction f derivable strictement positive sur [0, +infini[ verifie pour tout t de [0, +infini[ f'(t) = -1/20f(t)[3- ln(f(t))] ssi la fonction g = ln (f) verifie pour tout t de [0, +infini[ g'(t) = 1/20 g(t) - 3/20

je narrive pas du tout a faire cette question je suis bloqué

[Whims]

hum,
tu as un "si et seulement si" à démontrer, donc :
on démontre dans un sens puis dans l'autre (oui c'est laborieux mais c'est les maths ^^).

Dans un premier sens :
si une fonction g = ln (f) verifie pour tout t de [0, +infini[ g'(t) = 1/20 g(t) - 3/20 alors une fonction f derivable strictement positive sur [0, +infini[ verifira pour tout t de [0, +infini[ f'(t) = -1/20f(t)[3- ln(f(t))]

Ca semble logique : tu intègre et tu remplace (ensuite, de là à que ce soit facile...)

Pour l'autre sens, en revenche :
Si une fonction f derivable strictement positive sur [0, +infini[ verifie pour tout t de [0, +infini[ f'(t) = -1/20f(t)[3- ln(f(t))] alors la fonction g = ln (f) verifira pour tout t de [0, +infini[ g'(t) = 1/20 g(t) - 3/20

Est ce qu'il faut intégrer f' pour trouver f, puis ln(f)=g et dériver ? :doh: heu...


Voilà tout ce que je peux faire pour toi, pour le moment.
en tout cas,

[CENTER]BON COURAGE ![/CENTER]