Sur les équations différentielles

[nico033]

bonjour, voici lexo sur les équations différentielles que je ne comprend pas pourriez vous maider sil vous plait merci d'avance.

on veut maintenant montrer que la fonction z0 ne s'annule pas sur l'intervalle ]-infini, 1/2[.

(E') : z' = -(lambda z+1) telle que z(0) = 1 , et ensuite de donner l'expression de cette fonction que lon notera z0. (je nai pas reussi à trouver z0)


démontrer que ln(1 + lambda) superieur à (lambda)/(lambda + 1).
(on pourra étudier sur [0,1] la fonction f définie par f(x) = ln(1+x)-(x)/(x+1). (cette partie je sais faire, car il faut dériver f(x)) mais je nai quand meme pas reussi a démontrer que ln(1 + lambda) superieur à (lambda)/(lambda + 1).

en déduire que 1/lambda * ln(1+lambda) supérieur à 1/2. (cette question je ne la comprend pas)

[annick]

plusieurs interrogations :
1)n'y avait-il pas quelque chose avant ce que tu nous donnes ici et qui serait indispensable?
2) tu écris z' = -(lambda z+1) , doit-on comprendre -(lamda (z+1)) ou
-(lambda z + 1)?

[annick]

démontrer que ln(1 + lambda) superieur à (lambda)/(lambda + 1).
(on pourra étudier sur [0,1] la fonction f définie par f(x) = ln(1+x)-(x)/(x+1). (cette partie je sais faire, car il faut dériver f(x)) mais je nai quand meme pas reussi a démontrer que ln(1 + lambda) superieur à (lambda)/(lambda + 1)

si tu étudies la fonction elle est croissante entre 0 et 1 et f(0)=0 donc on en conclus f(x)>0 soit

ln(1+x)-x/(x+1)>0 et ln(1+x)>x/(x+1)
Si lambda appartient à [0,1] alors ln(lambda+1)>lambda/(lambda+1)

[annick]

pour la suite, il ne faut pas que tu oublies que 0donc 11/2