Sur les dérivées

[yahumi]

une question qui me possède pourquoi quand f(x) admet un extrémum en a par exemple alors sa dérivée en ce point est égale à 0 :marteau:

[Manny06]

une question qui me possède pourquoi quand f(x) admet un extrémum en a par exemple alors sa dérivée en ce point est égale à 0 :marteau:

uniquement si la fonction est derivable

supposons que f a un minimum relatif en a
pour tout x au voisinage de a f(x)>=f(a)
six>a [(f(x)-f(a)]/(x-a) >=0 s'il a une limite quand x tend vers a+ alors cette limite est >=0
donc f'd(a)>=0
si x<a [(f(x)-f(a))]/(x-a) <=0 s'il a une limite quand x tends vers a- alors cette limite est <=0
donc f'g(a)<=0
si la fonction est derivable en a f'g(a)=f'd(a) =f'(a) la seule valeur commune est donc 0

[Peacekeeper]

une question qui me possède pourquoi quand f(x) admet un extrémum en a par exemple alors sa dérivée en ce point est égale à 0 :marteau:

La dérivée en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. Si la courbe présente un extremum, sa tangente en ce point est alors horizontale et possède donc une pente nulle. :zen:

[globule rouge]

une question qui me possède pourquoi quand f(x) admet un extrémum en a par exemple alors sa dérivée en ce point est égale à 0 :marteau:

Hello !
Alors la dérivée s'annule lorsque l'on rencontre un extremum, mais la réciproque est fausse. Attention aussi, la notion d'extremum étant assez rigoureuse, il faut bien sur préciser sur quel intervalle on travaille ! =)

Un extremum désigne le plus grand ou le plus petit élément (c'est pour cela que l'on définit le maximum et le minimum) d'un ensemble : quand on travaille sur une fonction, l'extremum désigne a tel que pour tout x d'un d'un ensemble donné, ou (minimum ou maximum). M'enfin comme tu le vois, je préfère prendre cette notion avec des pincettes ^^

Ainsi, si ta fonction est continue et dérivable en tout point de l'ensemble considéré, la fonction change de variations au niveau de l'extremum, et la dérivée s'annule alors (tu peux te le représenter dans ta tête) ! La pente s'annule un tout petit instant...
Mais il existe des cas ou cela ne marche pas : la fonction en est un exemple.

Julie

Edit : hihi ^^ troisième

[sad13]

Bonsoir @ tous, ne faut-il pas préciser aussi, par exemple, dans la démo que Manny cite que f est croissante(par exemple ou plus généralement monotone) car sinon pourquoi se permettrait-on d'écrire

"six>a [(f(x)-f(a)]/(x-a) >=0 " car implicitement on a utilisé que x>a => f(x) >f(a) et plus loin:
x f(x)
Certes a est un minimum mais

[Manny06]

[quote="sad13"]Bonsoir @ tous, ne faut-il pas préciser aussi, par exemple, dans la démo que Manny cite que f est croissante(par exemple ou plus généralement monotone) car sinon pourquoi se permettrait-on d'écrire

"six>a [(f(x)-f(a)]/(x-a) >=0 " car implicitement on a utilisé que x>a => f(x) >f(a) et plus loin:
x f(x)=f(a) donc f(x)-f(a)>=0 que x soit plus petit ou plus grand que a
le signe du rapport vient du signe de (x-a) positif si x>a et négatif si x<a

[yahumi]

merci à tous pour cette explication rigoureuse