Suites et nombres complexes

par **polopo** » 22 Fév 2010, 14:22

bonjour,
je ne comprend pas bien tout ce qui se rapporte aux suites.Je me retrouve donc face à une difficulté car j'ai un exercice qui mélange suites et nombres complexes.Je ne sais pas comment m'y prendre.J'aimerai avoir de l'aide avec si possible de bonnes explication. merci de votre aide.

Soit le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct. On définit dans P une suite de points Mn avec n qui appartien à N d'affixes Zn définies par Z0=8 et pour tout entier naturel n, Zn+1= [(1+i3)/4]*Zn.

1) Quelle est la nature de la suite Zn et exprimer Zn en fonction de n.
2) Pour tout entier naturel n,calculer le rapport (Zn+1-Zn)/Zn+1. En déduire la nature du triangle OMnMn+1 et montrer que MnMn+1= k OMn+1, où k est un réel strictement positif à déterminer.
3) Si rn est le module de Zn, donner la limite de rn si n tend vers plus l'infini. Quelle interprétation géométrique peut-on donner?

Merci

par **Ericovitchi** » 22 Fév 2010, 15:51

les suites de type Zn+1= k Zn sont des suites géométriques même si k est un nombre complexe. As tu trouvé Zn en fonction de n ?

par **polopo** » 22 Fév 2010, 16:29

pour Zn en fonction de n j'ai noté Zn=Z0*q^n
mais pour la suite j'ai du mal à m'en sortir...
pour la question 2. je trouve un rapport=i racine de 3
je pense qu'il faut que j'utilise l'arg de ce rapport pour montrer que c'est un triangle rectangle mais je ne sais pas comment rédiger...
merci de m'aider

par **Ericovitchi** » 22 Fév 2010, 16:47

(Zn+1-Zn)/Zn+1 ? non je n'ai pas trouvé ça

par **polopo** » 23 Fév 2010, 10:26

je dois vraiment mal m'y prendre, j'ai refait le calcul et je retombe sur la même chose...

par **annick** » 23 Fév 2010, 11:04

Bonjour,
es-tu sûr de ton énoncé car cela fait 3 fois que je refais les calculs et je n'arrive à rien de bien intéressant.
J'ai remarqué ceci qui simplifie les calculs:

(Zn+1-Zn)/Zn+1=1-(Zn/Zn+1)=1-1/q=(q-1)/q=

[[(1+3i)/4]-1]/[(1+3i)/4]=

(-3+3i)/(1+3i)=[(-3+3i)(1-3i)]/[(1+3i)(1-3i)]=(6+12i)/10=(3+6i)/5

* : je viens de corriger

par **Ericovitchi** » 23 Fév 2010, 11:19

[(-3+3i)(1-3i)]/[(1+3i)(1-3i)]=(6+12i)/10=(3+6i)/5 mais ça ne change pas grand chose

par **annick** » 23 Fév 2010, 11:37

Oups, effectivement, petite erreur à la retranscription de ce qui était juste sur mon brouillon. Mais comme tu le dis, ça ne change pas grand chose. Ça sent l'erreur d'énoncé.

par **polopo** » 23 Fév 2010, 13:29

effectivement il y avait une erreur,excusez-moi. Zn+1= [(1+i3)/4]*Zn. Ce n'est pas i3 mais i racine de 3
J'espère que vous pourrez m'aider
Pour le rapport je trouve donc i racine de 3 ensuite j'ai dit que OMnMn+1 est un triangle rectangle en Mn+1
je n'arrive pas a montrer l'égalité de la question 2)

Pour la 3) je trouve que la limite de rn est 0.
Mais je ne sais pas comment interpréter.

Merci pour votre aide.

par **annick** » 23 Fév 2010, 17:36

Me re voici.
Effectivement, on trouve (Zn+1-Zn)/Zn+1=iV3= V3 e^i(pi/2) (V veut dire racine carrée)

On peut aussi écrire ce rapport (Zn+1-Zn)/(Zn+1-0)

Géométriquement, cela veut dire que :

1) Arg[Zn+1-Zn)/(Zn+1-0)]=(OMn+1,MnMn+1)=pi/2 (il y a des vecteurs, ceci est un angle orienté), donc le triangle OMnMn+1 est rectangle en Mn+1

2) Module [Zn+1-Zn)/(Zn+1-0)]=MnMn+1/OMn+1=V3 d'où MnMn+1=V3 OMn+1

par **polopo** » 24 Fév 2010, 16:49

Merci beaucoup, mais pour la dernière question personne n'a d'idée?parce que je ne vois pas comment je peux interpréter ce que je trouve..

par **annick** » 24 Fév 2010, 17:09

Déjà, je viens de remarquer ceci :

Zn=8[((1+iV3)/4)]^n=8((1/2)^n)((1/2)+i(V3/2))^n

Zn=8((1/2)^n)e^(i(pi/3)^n)=8((1/2)^n)e^(i(npi/3)

Donc module Zn=rn=8((1/2)^n) tend vers 0 si n tend vers +00

Donc quand n devient très grand, Mn se rapproche de O

par **polopo** » 25 Fév 2010, 10:01

merci annick; mais c'est seulement ça que je dois dire pour l'interprétation géométrique? Je ne dois pas parler de droite?ou de cercle car rn équivaut au rayon du cercle,non?
excusez moi pour ces doutes et merci pour votre aide.

par **Ben314** » 25 Fév 2010, 10:23

Salut,
Pour l'interprétation géométrique, je te conseillerais surtout de faire... un dessin.
En fait tu place au minimum les points M0,M1,...M8 (et même M9 et M10 pour mieux comprendre) sur un grand dessin et tu marque les différents angles droits ainsi que toutes les longueurs OMn.
A mon avis, c'est suffisant pour comprendre comment "ça marche"...

par **polopo** » 25 Fév 2010, 16:48

merci,mais je ne vois pas vraiment ce que je peux dire...

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