Suites et exponentielle TS

[Seth.]

Salut à tous !

J'ai un petit problème concernant quelques questions de mon DM de maths.

On considère les suites pour tout n de N et x dans R+
Et

J'ai montré que
Que Un est croissante, que Vn est décroissante à partir de n = 2x + 1
On me demande ensuite de montrer que Là je ne sais pas comment faire ...


Pour x > 0 on note exp (x) la limite de Un(x) et on s'intéresse à la fonction f(x) = exp (x)
Ecrire exp (x) avec le symbole de 2 façons différentes.
Avec Un(x) j'ai trouvé pour p de 0 à n, mais la 2ème façon je ne vois pas ...


On me demande ensuite d'expliciter (c'est fait).
Et après on me dis de justifier que je ne sais pas comment le justifier ...


Ensuite on me demande de justifier plusieurs propriétés de exp (x), j'ai fais les 4 premières mais je bloque sur la dernière, c'est
On me donne pour piste "justifier que exp (x) > Un+1 (x) et conclure".

Merci de votre aide ...

[Elsa_toup]

Comment as-tu montré que Vn était décroissante ???
Je ne suis pas franchement d'accord ...

[Seth.]

J'ai montré que
Et à partir de n = 2x-1 cette expression est bien < 0. C'est sur car c'était demandé dans la question de justifier que était décroissante à partir de ce rang.

[Elsa_toup]

Ah oui, au temps pour moi (super efficace la fille .... :ptdr: ).

Alors pour la limite de Vn-Un: as-tu vu que n! l'emporte sur à l'infini ?
(si oui, c'est fini! donc j'imagine que non....)

Pour la suite, si tu sais que Un et Vn ont même limite à l'infini, cela signifie que la limite de Vn est également exp(x). Donc tu peux utiliser l'expression de Vn pour exprimer exp(x) sous la forme d'une somme.

Cela t'aidera pour la dérivée par la suite: il te faut dériver la somme...

[Seth.]

Alors pour la limite de Vn-Un: as-tu vu que n! l'emporte sur à l'infini ?
(si oui, c'est fini! donc j'imagine que non....)

Non javais pas vu ... Donc elle tends vers 0+ mais je donne quoi comme justification précise ? ? ?

Pour la suite, si tu sais que Un et Vn ont même limite à l'infini, cela signifie que la limite de Vn est également exp(x). Donc tu peux utiliser l'expression de Vn pour exprimer exp(x) sous la forme d'une somme.

Je vois à peu près ce que tu veux dire ...la réponse c'est donc
Ou
Ou encore autre chose ? (dans ce cas je ne vois pas comment écrire cette somme ...

[Seth.]

Est ce que quelqu'un pourrait me répondre ?

[fred]

Soit

or
d'où donc converge


On a montré l'existence de la limite de .On doit donc trouver telle que

C'est vrai que si

[fred]

On écrit

[fred]

Pour la dérivée de

On écrit

en posant tu trouves

[fred]

On reviens à la définition



avec
le résultat vient de lui même
Pour
or
or
Tu conclus