Exercice sur les suites, la fonction exponentielle et des in

[julie7]

Bonjour à tous

J'ai cet exercice à faire :

1°) a)Démontrer que pour tout réel x, 1+x inf ou égal à exp(x) [1]

b) en déduire pour tout réel x inf ou égal à 1, exp(x) inf ou égal à 1/(1-x) [2]

2°)
a) Déterminer les variation de la fonction cf indice n définie sur [0,+ l'infini[ par cf indice n (x) = x^n

b) Déduire de l'inégalité [1], que (1+1/n)^n inf ou égal à exp(x)

c) Déduire de l'inégalité [2], que exp(x) inf ou égal à (1+1/n)^n+1

3°) U est la fonction définie pour tout entier n sup ou égal à 1 par :
Un=(1+1/n)^n

a) démontrer que pour tout entier n sup ou égal à 1:
e-e/n inf ou égal à Un inf ou égal à exp(x)

b) en déduire que u converge vers e

c) Avec la calculatrice donner une valeur approchée de U(0), de U(100) et de U(1000)

Ce que j'ai fait :

1°)
a) Pour démontrer que pour tout réel x, 1+x inf ou égal à exp(x)
On va montrer que 1+x-exp(x) inf ou égal à 0

Soit la fonction telle que h(x)= 1+x-exp(x)

h est dérivable sur l'ensemble des réels comme différence de deux fonctions dérivables sur l'ensemble des réels

h'(x)=1-exp(x)

1-exp(x) sup ou égal à 0
-exp(x) sup ou égal à -1
exp inf ou égal à 0
comme exp(x) est strictement croissant sur l'ensemble des réels :
x inf ou égal à 0

J'ai fait un tableau de variation h est croissante sur ]-l'infini,0] et décroissante sur [0,+l'infini[

h admet un maximum au point d'abscisse 0

h(0)=0

Donc pour tout réel x, h(x) inf ou égal à 0

donc 1+x inf ou égal à exp(x)

2°)
a)
cf(x)= x^n

cf'(x)=nx

Sur [0,+ l'infini[, x sup à 0

donc nx sup à 0 car n sup à 0

donc cf'(x) sup à 0

donc cf est croissante sur [0,+ l'infini[

3°)

b) j'y arrive mais pas complétement

tout les limites sont lorsque n tend vers + l'infini.

lim (1/n)=0

lim 1^n = 1

Bref j'y arrive pas trop

c)

U(100)=2,70
U(1000)=2,71
U(10000)=2,72




Le reste, je n'y arrive pas du tout :triste:

[julie7]

Bonjour

Comment en sachant que 1+x exp(x)

On peut trouver que exp(x)

Pouvez juste m'aider pour cette inéquation car moi, je bloque toujours au même endroit, ça m'exaspère.

Je n'arrive pas à faire mieux que exp(-x)