DM TS suites et congruences

[fofie]

Bonjour, voilà j’ai un DM de maths à faire pour la rentrée et en plus il est noté!!!C’est un DM de spécialité et je n’arrive pas à faire toutes les questions. Il me manque la question 2 où il faut démontrer que U(indice 2k) congrue à 2 modulo 4, la question 3b, la 4 et la 5.

Alors si vous voulez bien m’aider, voici l’exercice :

On considère la suite (Un) d’entiers naturels définie par U(indice 0) = 14 et U(indice n+1) = 5U(indice n)-6.

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite.
Quelles conjectures peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de U(indice n)?

2. Montrer que pour tout n entier naturel, U(indice n+2) congrue à U(indice n) modulo 4.
En déduire que pour entier naturel k, U(indice 2k) congrue à 2 modulo 4 et U(indice 2k+1) congrue à 0 modulo 4.

3. A)Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 2U(indice n)=5^(n+2) + 3
B) En déduire que pour tout entier naturel n, 2U(indice n) congrue à 28 modulo 100.

4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de U(indice n), suivant les valeurs de n.

5. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (Un) est constant. Préciser sa valeur.

Je vous remercie d’avance.

[becirj]

Quelques pistes

2) De la congruence (mod 4), on peut déduire que (mod 4)

3b) Calcule .on peut mettre en facteur et montrer que (mod 4)

4. De la congruence précédente, on peut déduire que ( )
2 possibilités suivant la parité de k.

5.De la question 2, on peut déduire que 2 divise .
Soit d un diviseur de et , il divise =6 mais tous les sont pairs donc d=2 . Le pgcd est donc 2.