Suites 1ère S

[tryo]

Salut ! Ca va bien ? Moi pas tellement j'ai un DM pour le 3 janvier et je coince un peu je vous ai donné mes quelques réponses mais pour certaines questions c'est assez chaud pour moi :
Voilà le sujet :
Ex n°1 :
Un jardinier veut récolter 2500 gousses d'ail pour sa consommation annuelle
1- Combien doit-il p=en plenter U0 sachant qu'une gousse plantée en donne 5 à la récolte ?
(ma rep : U0=500)
2- Mais il faut prévoir le semis pour l'année suivante. Combien doit-il en planter U1 ?
(ma rep : U1=1000)
3- Quelle est la quantité si la prévision porte sur 2 ans ?
(ma rep : U2=1500)
4- Et s'il désire en planter chaque année ? Soit Un la quantité de gousses pour pouvoir en planter jusqu'à l'année n. Calculer Un
(ma rep: Un= 500(n+1) )
5- Sachant qu'il ne plante que des gousses entières combien doit-il en planter jusqu'à la fin de ses jours ? :look2:
6- Quel est l'âge du jardinier ? :help:

Ex n°2 : :mur:
1- Soit f définie sur R par f(x)=1/3 (x^2-2x+4)
a) Tableau de variations
( ma rep : f(x) croissante sur [1;+ infini[ et f(x) décroissante sur ]-infini;1] )
b) en déduire que si x appartient ]1;4[ alors f(x) aussi
2- Soit Un la suite définie par U0=3 et U(n+1)=f(Un)
a) En utilisant le résultat de la première question démontrer par récurrence que pour tout n appartenant à N : 1 b) Prouver que U(n+1)-Un= 1/3 (Un-1)(Un-4)
c) Déduire des résultats précédents le sens de variations de la suit Un et donner alors un nouvel encadrement du terme Un
d) Prouver que U(n+1) - 1 < 2/3 (Un-1)
En déduire que la valeur absolue de Un-1 < 2*(2/3)^n
e) c'est une courbe à tracer mais c'est ça je sais faire


Merci de m'éclairer sur les questions où je n'ai pas trouver la réponse et me dire si j'ai juste à celles que j'ai trouvées. :++:

[Chimerade]

Bon, je m'occupe des aulx.
La réponse 1 est correcte.
Mais la réponse 2 ne l'est pas, pas plus que la 3 ou la 4. En effet, tu supposes que les gousses d'ail restent en bonne forme même si elles doivent attendre 10 ans, 20 ans dans la cave : n'importe quel jardinier te dira qu'il n'en est rien. Aussi, s'il veut pouvoir planter 500 gousses la deuxième année, il n'a qu'à s'arranger pour que sa production de l'année soit de 3000 gousses au lieu de 2500 : pour cela il doit en planter 600. Ainsi, après la récolte, il pourra prendre 2500 gousses pour sa consommation et il en restera 500 toutes neuves, pour pouvoir les planter et en récolter 2500 l'année suivante.
Mais l'histoire s'arrêtera là s'il ne prévoit pas la troisième année. Ce serait bien s'il en avait non pas 500 gousses la deuxième année, mais 600, ainsi il pourrait prolonger son travail et ses récoltes d'une année. Pour en avoir 600 à planter, il lui en faut produire 600+2500, soit 3100 l'année précédente, donc en planter 620. Tu commences à comprendre ?

Première manip :
Plantées 500, récoltées 2500, mangées 2500 reste 0 fin de l'histoire
Deuxième manip :
Plantées 500+100, récoltées 2500+500, mangées 2500 reste 500
Plantées 500, récoltées 2500, mangées 2500 reste 0 fin de l'histoire
Troisième manip :
Plantées 500+100+20, récoltées 2500+500+100, mangées 2500 reste 500+100
Plantées 500+100, récoltées 2500+500, mangées 2500 reste 100
Plantées 500, récoltées 2500, mangées 2500 reste 0 fin de l'histoire


Donc,
s'il en plante 500, il fait 1 récolte
s'il en plante 500+100, il fait 2 récoltes
s'il en plante 500+100+20, il fait 3 récoltes
s'il en plante 500+100+20+4, il fait 4 récoltes

Mais il ne peut pas planter 4/5 de gousse... que faire ? Je te laisse chercher un peu...

[Chimerade]

Je cite ton message privé : il n'y a pas lieu de poursuivre le dialogue en privé : les autres ne comprendront rien s'il manque des passages ...

Salut !
Bon voilà j'ai réfléchi un peu et voici mes résultats sur las gousses d'ail de ce gentil jardinier :
Un = U0+(U(n-1)/5)
et pour savoir combien de gousses il doit planter jusqu'à la fin de ses jours c'est avec une leçon que je n'ai pas encore étudiée sur les limites ? Alors si vous pouvez m'expliquer ça serait sympa ...
Et merci pour le reste ça m'a aidé à comprendre

On peut donc écrire :

Ta formule Un = U0+(U(n-1)/5) est correcte cependant.

Il est clair que l'on ne peut pas planter des fractions de gousses d'ail ! Alors comment faire ? Ne serait-il pas pratique de planter N gousses, d'en récolter 5N, de manière à pourvoir en consommer 2500 et qu'il en reste exactement N pour pouvoir recommencer éternellement ?

Pour cela, il faudrait trouver N tel que :

5N = 2500 + N

Ca n'a pas l'air si dur ! Equation du premier degré : on trouve N = 625. Donc si notre gentil jardinier plante 625 gousses, il en récoltera 625*5 soit 3125, dont il consommera 2500 : il lui en restera 625 exactement, et il recommencera ainsi jusqu'à la fin de ses jours...

[tryo]

Merci beaucoup ça me fait plaisir
Sinon vous voulez bien me corriger le 2ème exo ça serait sympa ? Mais vous êtes pas obligé. Je vous donne mes réponses :
1° a- Tableau de varitions :
f décroissante sur ]- infini;1[
f croissante sur ]1;+ infini[
b- si x=1 f(x)=1
si x=4 f(x)=4
et f croissante sur ]1; + infini[ donc si x appartient à ]1;4[ f(x) aussi
2° Dem par récurrence
U0>0 et U1Supposons que 1< U(p+1) < Up < 4
or f est croissante sur ]1;+infini[ donc f est croissante sur ]1;4[
donc f(1) < f(U(p+1)) < f(Up) f(4)
donc 1 < U(p+2) < U(p+1) <4
donc 1 < Up < 4
D'après le principe de récurrence on a :
pour tout n appartenant à N : 1 < Un <4
b- celui je vous le met pas c'est assez facile et je suis sure de moi
c- On a démontré auparavant par récurrence que Un > U(n+1)
donc on peut en déduire que la suite (Un) est décroissante
d- J'ai réussi à faire que la première et encore j'en suis pas sure :
2/3*(Un-1) = 0
donc 2/3*Un = 2/3
donc Un = 1

U(n+1)-1 = 1/3*(Un^2-2Un+4)
donc (1/3)Un^2 - (2/3)*Un +1/3 = 0
delta = 0 donc Uno=1

DONC U(n+1)-1 <(ou égal) 2/3(Un-1)




Voilà mes réponses et si je vous "vois" pas avant demain (ce qui est fort possible car je pense revenir que demain sur le forum) je vous souhaite une bonne année et une bonne santé et plein de bonheur !!!!!!!!!!!!!!!

[Chimerade]

d- J'ai réussi à faire que la première et encore j'en suis pas sure :
2/3*(Un-1) = 0
donc 2/3*Un = 2/3
donc Un = 1

U(n+1)-1 = 1/3*(Un^2-2Un+4)
donc (1/3)Un^2 - (2/3)*Un +1/3 = 0
delta = 0 donc Uno=1

DONC U(n+1)-1 <(ou égal) 2/3(Un-1)

a) et c) sont corrects.
Mais je ne comprends pas ce que tu as fait en d)

Voici ma réponse pour d)

[INDENT]d) Prouver que U(n+1) - 1 < 2/3 (Un-1)
En déduire que la valeur absolue de Un-1 < 2*(2/3)^n[/INDENT]






Mais la suite U_n est décroissante, donc . Donc :


Donc :



...

Et en multipliant membre à membre ces inégalités (dont tous les termes sont positifs) :


On peut donc conclure :


Merci pour tes bons voeux. Reçois à ton tour les miens pour une année fructueuse... en maths et ailleurs !