Voilà j'ai un exercice sur les suites a faire et je bloque sur certains calcule et pour d'autre question je ne suis pas sûr de mes rsultat. Pouriez vous me dire mes résultat sont faux et m'aider à finir cette exercice!
Voici l'énoncé:
On considère une suite numérique(Un) définie par U0=-1 et pour tout n appartenant à N.
U(n+1)=(3+2Un)/(2+Un)
1)Calculer les 4 premier termes de la suite.
Je trouve: U1=1 ; U2=5/3; U3=19/11; U4=71/41
2)Démontrer que Un est un nombre positif pour tout entier n non nul; en déduire que Un est défini quel que soit l'entier n.
Pour Un positif j'ai fait par récurrence:
Initialisation: avec n=1 (je n'est pas fait pour n=0 parce-que c'est "pr tout entier non nul) c'est juste ou je dois le faire quand même avc 0 :hein:
U1>0 et U2>0.
Hérédité :
On suppose que Un>0 pour tout n fixé quelconque. On veut montrer que
U(n+1)>0.
On pose f(x)= (3+2x)/(2+x)
f'(x)=(1)/(2+x)² >0 donc f est strictement croissante sur R-{-2}
Alors Un>0
donc f(Un)>f(0)
donc U(n+1)>0 car U(n+1)=f(Un)
Conclusion:
Par récurrence la propriété "Un>0" est vraie pr tout n non nul.
Par contre je sais pas cmt faire pr en déduire que Un est défini quel que soit l'entier n :hein:
3)Démontrer que la suite Un est majoré par racine de 3.
Ici j'ai aussi fait par récurrence c'est OK!
4)Déterminer le sens de variation de Un
J'ai trouver quelle était croissante.
5)On considère la suite Vn défini pr tout n par:
Vn=(Un-racine3)/(Un+racine3)
a) Montrer que la suite Vn est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
Ici j'ai fait le calcule mais j'arrive pas à conclure
J'ai commencé par calculé V(n+1)=(U(n+1)-racine3)/(U(n+1)+racine3)
et je bloque à (-3racine3 - 2Unracine3)/(2racine3 + Unracine3) = :triste: ...
je sais pas si je peut simplifier d'avantage ou pas??
par contre je sais que je dois aboutire à un calcul de la forme V(n+1)=q*Vn.
b)Calculer la limite de Vn en déduire la limite de Un. :hein:
Merci de m'aider pour l'aide apporté! :help:
