Suite

[t.itou29]

Bonjour,
J'ai eu une interro sur les suites aujourd'hui et une question m'a posé problème:
Etudier le sens de variation de la suite définie par et .
C'est la "célèbre" fraction continue qui tend vers le nombre d'or mais le problème c'est que je n'ai pas l'impression qu'elle soit monotone. Avec un petit programme j'ai calculé les 20 premiers et ils ne font qu'osciller autour de 1.6.. Soit je me suis trompé et elle est monotone à partir d'un certain rang (mais j'ai pas l"impression) ou alors elle ne l'est pas et comment le prouver ?
Merci

[Manny06]

Bonjour,
J'ai eu une interro sur les suites aujourd'hui et une question m'a posé problème:
Etudier le sens de variation de la suite définie par et .
C'est la "célèbre" fraction continue qui tend vers le nombre d'or mais le problème c'est que je n'ai pas l'impression qu'elle soit monotone. Avec un petit programme j'ai calculé les 20 premiers et ils ne font qu'osciller autour de 1.6.. Soit je me suis trompé et elle est monotone à partir d'un certain rang (mais j'ai pas l"impression) ou alors elle ne l'est pas et comment le prouver ?
Merci

en principe si tu étudies une suite définie par Un+1=f(Un) avec f décroissante la duite est non monotone
tu peux d'ailleurs démontrer en utilisant fof montrer que les suites de rang pair et de rang impair sont monotones

[t.itou29]

en principe si tu étudies une suite définie par Un+1=f(Un) avec f décroissante la duite est non monotone
tu peux d'ailleurs démontrer en utilisant fof montrer que les suites de rang pair et de rang impair sont monotones

Merci, il devait avoir une erreur dans l'énoncé. Je vais essayer la démonstration avec les suites de rang impair et pair, je renvoie un message si je n'y arrive pas

[paquito]

V(n+1)-Vn=1/vn+1-Vn =(1+vn-Vn²)/Vn du signe de -Vn²+Vn+1 car on peut supposer V0>0;
on a -Vn²+vn +1>0 pour Vn<(1+V5)/2 et dans ce cas V(n+1) =1/Vn+1>(1+V5)/2 donc V(n+2)-V(n+1)<0. Donc la suite oscille bien autour de (V5+1)/2. On peut montrer que V(2n) croît et est majorée par (V5+1)/2 et que V(2n+1) décroît et est minorée par (1+V5)/2, donc ces 2 suites sont convergentes et leur limite vérifient l=1/l+1 soit l²-l-1=0 dont la seule solution positive est (V5+1)/2; sinon il faut utiliser le théorème des accroissement finis qui ne figure pas au programme. Sinon, il faut étudier la suite Abs(Un -(V5+1)/2), ce qui n'est pas très naturel.

[Robic]

il devait avoir une erreur dans l'énoncé

C'est quoi l'énoncé exact ?

[t.itou29]

C'est quoi l'énoncé exact ?

Étudier le sens de variation de vn (je viens de e rendre compte que j'ai pas mis la valeur de v0 c'est v0=1 mais ça ne change rien au problème)

[t.itou29]

V(n+1)-Vn=1/vn+1-Vn =(1+vn-Vn²)/Vn du signe de -Vn²+Vn+1 car on peut supposer V0>0;
on a -Vn²+vn +1>0 pour Vn(1+V5)/2 donc V(n+2)-V(n+1)<0. Donc la suite oscille bien autour de (V5+1)/2. On peut montrer que V(2n) croît et est majorée par (V5+1)/2 et que V(2n+1) décroît et est minorée par (1+V5)/2, donc ces 2 suites sont convergentes et leur limite vérifient l=1/l+1 soit l²-l-1=0 dont la seule solution positive est (V5+1)/2; sinon il faut utiliser le théorème des accroissement finis qui ne figure pas au programme. Sinon, il faut étudier la suite Abs(Un -(V5+1)/2), ce qui n'est pas très naturel.

J'avais fait un exercice pour démontrer la limite de cette suite et j'avais effectivement trouvé la suite avec la valeur absolue un peu parachutée. "Découper" la suite en deux pour trouver la limite comme tu as fait est plus intuitif je trouve. De toute façon c'était un devoir de première de debut de chapitre sur les suites donc ces outils ne sont pas appliquables