Suite

[invite57]

ERROR ERROR

[Nightmare]

Salut,

pour trouver x(n), une piste : x(n)=[x(n)-x(n-1)]+[x(n-1)-x(n-2)]+....+[x(1)-x(0)]+x(0)

Même idée pour z(n).

[Trident]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour terminer un DM.
J'ai

et
Auparavant, j'ai montré que la suite y est arithmétique de raison 2
J'ai fait quelques questions mais je bloque pour déterminer les suites x , y et z en fonction de n.
J'ai déjà
et pour le reste je bloque entièrement

En enfin je n'arrive pas à faire une question ou on me demande pour tout n entier naturel de prouver que: suppérieur ou égal à 2n


Merci davance pour votre aide

Tu procèdes par récurrence.

Tu appelles P(n) la propriété " xn >= 2n "

Tu vérifies que la propriété P(0) est vraie. En effet x0 = 0 >= 2*0

Tu supposes que xn >= 2n

tu en déduis xn + 2(n+1) >= 2n + 2(n+1)

d'où x(n+1) >= 2n + 2(n+1)

Comme 2n est positif (n appartient à N*), on est sûr que 2(n+1) + 2n >= 2(n+1)

donc on a x(n+1) >= 2(n+1), puis tu conclues d'après le principe de récurrence.

[invite57]

ERROR ERROR

[invite57]

ERROR ERROR

[Nightmare]

Bonjour je ne vois absolument pas ou vous voulez en venir.
Je tiens a préciser que j'ai réussi à faire cette question (mais à l'aide d'excel et sans aucun calcul :s) et j'ai trouvé que x(n)=n²+n

x(n-1)-x(n-2) ; x(n-2)-x(n-3) , etc. ça ne ressemble à rien de ton énoncé?

[invite57]

ERROR ERROR

[Trident]

Bonjour, j'ai compris en partie votre raisonnement sauf la partie suivante:
"tu en déduis xn + 2(n+1) >= 2n + 2(n+1)

d'où x(n+1) >= 2n + 2(n+1)"

Pourrais je savoir à quoi correspond le principe de réccurence svp ?

ahhhhh si j'ai compris à quoi correspond cette étape, je vais essayais de tous rédiger et si ca vous ne dérange pas je vous montreré si ce que j'ai fait est jsute Merci :d

Nan, ça me dérange pas, tu peux mettre ton énoncé ici, tu n'as plus qu'à rédiger correctement.

Le principe de récurrence en gros, t'as une propriété P(n) dépendante d'un paramètre n entier.
Tu montres qu'en considérant cette propriété vraie pour un entier n, alors elle est vraie au rang suivant n+1.
Tu montres ensuite qu'elle est vraie pour un entier n0 et on conclut que pour tout n >= n0, la propriété est vraie.

Exemple " dans ton cas, on doit montrer que xn >= 2n "

On a montrer que si pour n'importe qu'elle entier n au monde, si on avait xn >= 2n , alors forcément, ça implique qu'on ait x(n+1) >= 2(n+1).

On a aussi montré que c'était vraie pour x0. En effet, x0 >= 2*0

Bilan :

C'est vrai pour x0 (on vient de le dire...) Mais on a dit que si c'était vraie pour n'importe qu'elle entier n, c'était aussi vraie pour l'entier suivant (n+1).
Donc comme c'est vraie pour x0, c'est aussi vraie pour x(0+1) soit x1. C'est vraie pour x1 ? C'est donc vraie pour x2 puisqu'on a dit que pour n'importe qu'elle entier n au monde, si xn >=2n alors x(n+1) >= 2(n+1)

C'est vraie pour x2 ? C'est donc vraie au rang suivant x3. Vrai pour x3 ? Donc vraie pour x4 etc jusqu'à l'infini..

Voilà en gros (c'est une explication vraiment rapide) le principe de récurrence.

[invite57]

ERROR ERROR

[Trident]

Pour mon énoncé, je l'ai mis lors de mon premier message, il se limite à cà car on me donne le minimum.
Le seul problème c'est que je doit trouver n en fonction de, pour faire toute la fin de mon DM.......une fois que je trouve ca je peux faire tous le reste.

Vue que on a x(n)>=2n, en me demande la limite de la suite x(n). Puis je en déduire directement que l'on a la limite qui vaut +infini ?

Oui, comme xn >= 2n pour tout n et que la limite en +infini de la suite (2n) est + infini, tu peux conclure que xn tend vers +infini d'après le théorème de comparaison.

[invite57]

ERROR ERROR

[Trident]

Ok, merci à vous :we: .

Pourriez vous juste m'aider à définir x(n) en fonction de n car je suis complètement perdue.
Je sais que la réponse est x(n)=x²+x (trouver grace à excel) mais je ne sais absolument pas comment faire.(ps: interdiction d'utiliser un raisonnement par récurrence, ce qui complique tous)

Pardon, j'étais parti manger.

Donc , regardes bien ta suite :

tu remarques que :

x1 = x0 + 2

x2 = x1 + 4

x3 = x2 + 6

x4 = x3 + 8

etc... rien qu'avec la formule de départ "x(n+1) = x(n) + 2*(n+1) "


Donc par exemple x4 = x3 + 8 = [x2 + 6] + 8 (j'ai remplacé x3 par sa valeur x2 + 6)

x4 = [(x1 +4) + 6] + 8 (j'ai remplacé x2 par sa valeur x1 +4)

x4 = x0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 0 + 2 + 4 + 6 + 8


Ainsi, tu remarques bien que pour tout n , on a x(n) = somme de i=0 jusqu'à n de [ 2i ] (désolé, la flemme de faire le symbole somme ) , c'est donc égal à 2 fois la somme de i=0 jusqu'à n de [i]

Et la somme de i=0 jusqu'à n de [i], c'est la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 0, donc

la somme de i=0 jusqu'à n de [i] = [n(n+1)] / 2 (formule apprise en 1ère normalement, tu peux éventuellement la re démontrer par récurrence, la démo étant triviale)


Finalement x(n) = 2 fois la somme de i=0 jusqu'à n de [i] = 2 fois [n(n+1)] / 2 = n(n+1) = n² + n

(c'est en accord avec ta conjecture d'excel)
(vraiment désolé pour les symboles, j'ai pas trop le temps)


PS : Pour être plus rigoureux, on pourrait montrer par récurrence en effet que pour tout n ,

x(n) = somme de i=0 jusqu'à n de [ 2i ]

On appelle la propriété R(n) : "x(n) = somme de i=0 jusqu'à n de [ 2i ]"

R(0) est vraie. En effet somme de i=0 jusqu'à 0 de [2i] = 0 = x0

On considère R(n) vraie.

On cherche a montrer que x(n+1) = somme de i=0 jusqu'à (n+1) de [2i]

somme de i=0 jusqu'à (n+1) de [2i] = somme de i=0 jusqu'à n de [2i] + 2(n+1) = x(n)+ 2(n+1) car comme la propriété R(n) est vraie , on a x(n) = somme de i=0 jusqu'à n de [ 2i ].

Et x(n) + 2(n+1) n'est rien d'autre que x(n+1) par hypothèse.
Bilan :somme de i=0 jusqu'à (n+1) de [2i] = x(n+1) et donc P(n) vraie implique P(n+1) vraie.

Par récurrence, pour tout n >= 0, x(n) = somme de i=0 jusqu'à n de [ 2i ]

[Nightmare]

euhhhhhh de ce que je vois non :hum:
J'ai tord de rien voir ? :s

N'y a-t-il pas x(n+1)-x(n) dans ton énoncé? N'y a-t-il aucun rapport avec x(n)-x(n-1) , x(n-1)-x(n-2),etc. ?

[invite57]

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