Considérons la suite de nombres entiers dont les deux premiers termes valent 1 et dont chaque terme est la somme des deux termes précédents. Plus rigoureusement, cette suite est définie par u1 = 1, u2 = 1 et un+1 = un + un-1 pour les termes suivants. Par exemple,
u3 = u2 + u1 = 2 et u4 = 2 + 1 = 3.
1. Calculer les quinze premiers termes de cette suite.
2. Montrer que tous les termes de la forme u3n (avec n entier non nul) sont pairs.
3. Réciproquement, montrer que si un terme de cette suite est pair alors ce terme est de la
forme u3n (avec n entier non nul).
Il y a quelques temps, j'avais posté cet exercice.
J'ai une nouvelle idée pour la question 2. Pouvez vous me dire ce que vous en penses ?
On veut montrer que tous les termes de la forme u3n (avec n entier non nul) sont pairs.
On suppose qu'il existe des termes du type u3n impairs.
Soit k>0 le plus grand entier naturel tel que u3k impair;
u3(k+1)-u3k=2(u3k+1) après calcul et simplification.
Donc contradiction avec l'hyp.
Donc CQFD.
qu'en pensez vous ?
