Suite et récurrence

[Nadiaidan]

Bonjour!
Voici cet exercice:
Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout n de N, un+1 =(5un ;) 1)/(un + 3)
a) Démontrer par récurrence que pour tout n ;) N, un ;) ]1 ; 2[ .
b) Montrer que (un) est monotone.

Donc j'ai commencer par faire l'initialisation mais j'ai était bloqué, en effet Uo=2 n'appartient pas a ]1;2[, la propriété n'est donc pas vrai au premier rang, comment faire dans ce cas la ? ou ai-je fait une erreur?

Merci.

[titine]

Bonjour!
Voici cet exercice:
Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout n de N, un+1 =(5un 1)/(un + 3)
a) Démontrer par récurrence que pour tout n N, un ]1 ; 2[ .
b) Montrer que (un) est monotone.

Donc j'ai commencer par faire l'initialisation mais j'ai était bloqué, en effet Uo=2 n'appartient pas a ]1;2[, la propriété n'est donc pas vrai au premier rang, comment faire dans ce cas la ? ou ai-je fait une erreur?

Merci.

En effet il y a un problème dans l'énoncé !

[mathelot]

[paquito]

Je m'étais trompé de fonction; en fait ça marche à partir du rang 1 pour et la monotonie à partir du rang 0, après avoir montré que f définie par
est strictement croissante.

[paquito]

Le problème a un sens si tu prends et et en commençant par montrer la stricte croissance de.

[Ben314]

Salut,
Si alors est arithmétique de raison (mais au niveau terminale, le changement de variable sort un peu d'un chapeau...)

[t.itou29]

Salut,
Si alors est arithmétique de raison (mais au niveau terminale, le changement de variable sort un peu d'un chapeau...)

Je m'incruste un peu dans la discussion mais quelle est la technique pour trouver un tel changement de variable ? Parce que comme ça, ça sort vraiment d'un chapeau !

[mathelot]

bonjour,

dans la récurrence homographique

)

la limite ne peut être qu'un point fixe de f, vérifiant l'équation du second degré d'inconnue




en règle générale, cette équation a deux racines distinctes et

on étudie alors la suite définie par

(cas des racines doubles)

cette suite se révélant géométrique.

ici, dans ton cas particulier, il y a une racine double

[paquito]

Je pense que Ben triche! Il part du résultat voulu, avec beaucoup d'intuition; mais, bon, c'est joli!

[Nadiaidan]

Bonjour à tous, merci pour vos réponses!
Paquito, j'avais également trouvé que U1=9/5 mais il faut en faite que je fasse l'initialisation avec U1?
Donc je fais:
Initialisation: U1)9/5 , 9/5 appartient à ]1;2[ donc la propriété est initialisé.
Hérédité: Soit n un entier naturel, supposont que la propriété est vraie pour le rang n+1
donc U2= 5/3 , 5/3 appartient à ]1;2[ . La propriété est donc héréditaire.

Par contre, je n'ai mis q'une partie de mon exercice, avant cette question, on me demandait d'étudier les variations de f , f(x)=(5x;) 1)/(x + 3) sur l'intervalle [0;+infini[, ce que j'ai fait, f(x) est strictement croissante sur cet intervalle. Je peux donc dire que la suite Un est strictement croissante comme la fonction f ?

Ensuite, mon exercice n'est pas fini. Il faut que je montre que la suite Vn=1/(Un-1) est arithmétique et il faut que je précise sa raison. Puis il faut que je détermine Vn, puis Un en fonction de n. Et pour finir il faut que je calcule la limite de Un lorsque n tend vers + infini.
Mais comment t.itou29 trouve t'il que Vn est arithmétique et que sa raison est 1/4 ?
Parce que moi, pour trouver que Vn est une suite arithmétique je voulais faire Vn-1 - Vn mais cela ne marche pas...
Pourriez vous m'aider svp?
Merci beaucoup!

[mathelot]

Bonjour à tous, merci pour vos réponses!
Paquito, j'avais également trouvé que U1=9/5 mais il faut en faite que je fasse l'initialisation avec U1?
Donc je fais:
Initialisation: U1)9/5 , 9/5 appartient à ]1;2[ donc la propriété est initialisée.
Hérédité: Soit n un entier naturel, supposont que la propriété est vraie pour le rang n+1
donc U2= 5/3 , 5/3 appartient à ]1;2[ . La propriété est donc héréditaire.

ça ne suffit pas:suppose l'hypothèse de récurrence.

Par contre, je n'ai mis q'une partie de mon exercice, avant cette question, on me demandait d'étudier les variations de f , f(x)=(5x;) 1)/(x + 3) sur l'intervalle [0;+infini[, ce que j'ai fait, f(x) est

ne pas confondre l'image f(x) et la fonction f

strictement croissante sur cet intervalle. Je peux donc dire que la suite Un est strictement croissante comme la fonction f ?


Attention: tu peux avoir f croissante et u_1<u_0 auquel cas la suite est...décroissante

Ensuite, mon exercice n'est pas fini. Il faut que je montre que la suite Vn=1/(Un-1) est arithmétique et il faut que je précise sa raison. Puis il faut que je détermine Vn, puis Un en fonction de n. Et pour finir il faut que je calcule la limite de Un lorsque n tend vers + infini.
Mais comment t.itou29 trouve t'il que Vn est arithmétique et que sa raison est 1/4 ?
Parce que moi, pour trouver que Vn est une suite arithmétique je voulais faire Vn-1 - Vn mais cela ne marche pas...

si ça marche.

................

[Nadiaidan]

L'hypothèse de récurrence c'est: Un+1 appartient à ]1;2[.
Ah oui exact, je voulais dire la fonction f, mais alors comment puis-je dire cela?
Merci :)

[Ben314]

Non, il n'y a pas vraiment de "triche".
Simplement la constatation (qui provient de la théorie des espaces projectifs) que, lorsque l'on compose deux homographies et , c'est la même chose que de multiplier les matrices 2x2 et .
Donc estimer le n-ième terme d'une suite vérifiant , ça revient exactement à calculer la matrice et là, on sait trés bien faire :
On diagonalise la matrice (si c'est possible, sinon, mise sous forme de Jordan) et changement de base : c'est la changement de base dans R^2 qui donne imédiatement le changement de variable qu'il faut faire pour se ramenner à une suite géométrique (si la matrice est diagonalisable) ou arithmétique (si elle n'est pas diagonalisable, donc semblable à une matrice de la forme qui correspond à une suite .

Exemple : Ici, la matrice est , et la théorie "classique" te permet de montrer que, si on prend par exemple alors .
Cela signifie que, si on pose ( matrice ) alors ( matrice )

[Nadiaidan]

Lorsque je fais Vn+1 - Vn je trouve 1/(3Un-3) , j'ai du me tromper quelque part non?

[paquito]

Donc pour, on commence par montrer queest strictement croissante (dérivée>0);
ensuite pour un entier supposons , qui va converger vers 1 avec une lenteur désespérante!!


Sinon, Ben triche quand même un peu! Les réduites de Jordan n'étant étudiées que dans les très bonnes math spé!!

[t.itou29]

bonjour,

dans la récurrence homographique

)

la limite ne peut être qu'un point fixe de f, vérifiant l'équation du second degré d'inconnue




en règle cette équation a deux racines distinctes et

on étudie alors la suite définie par



cette suite se révélant géométrique.

ici, dans ton cas particulier, il y a une racine double

Il y a quelque chose que je ne comprends pas, dans ce cas ça donnerait la suite Vn=1 ? (Si alpha=beta=1)
Sinon pour comprendre d'où ça vient il faut obligatoirement passer par les matrices comme l'a fait Ben ? (Je ne les ai pas encore vues)

[mathelot]

@Ben314: une homographie envoie une droite vectorielle de sur une autre droite, c'est cela ?

[Ben314]

Il y a quelque chose que je ne comprends pas, dans ce cas ça donnerait la suite Vn=1 ? (Si alpha=beta=1)

Comme mathelot le précise au milieu de son post, le changement de variable ne marche que dans la cas où l'équation (du second degré) admet 2 racines distinctes et (et la suite (Vn) est alors géométrique)
Dans le cas où l'équation admet une seule racine (double) , on peut (par exemple) prendre qui est alors arithmétique.

Sinon pour comprendre d'où ça vient il faut obligatoirement passer par les matrices comme l'a fait Ben ? (Je ne les ai pas encore vues)

Pour vraiment "comprendre d'où ça vient", je pense qu'effectivement, il faut avoir vu les matrices.
Mais tu peut aussi "retrouver" les résultats ci dessus "à la main" en partant d'une suite puis en posant et en regardant à quelle condition sur la suite est géométrique ou arithmétique : c'est long et calculatoire, mais ça se fait...

[paquito]

@Ben314: une homographie envoie une droite vectorielle de sur une autre droite, c'est cela ?

Une homographie de la variable réelle ne définit pas une transformation du plan, il faut aller dans ou on a plein de propriétés.