Suite-racine carrée

[Anonyme]

notation : V(x) =racine carrée de x
voila dans un exo on cherche à approximer V(2) .pour cela on nous donne la
suite (un) défini par u0=1 et un=(1/2)*(un+ (2/un) ).on a montrer que un
est décroissante compris entre V(2) et 3/2 et u0et enfin /un-V(2)/<(1/2)^(2^(n+1)-1) (*).

ma question est la suite .la méthode de cette énoncé se généralise -t-elle à
d'autres racines carrées.
et peut-on améliorer l'erreur de méthodes dans (*) ?

merci d'avance.

[Anonyme]

bob a écrit :
la méthode de cette énoncé se généralise -t-elle à
> d'autres racines carrées et peut-on améliorer l'erreur de méthodes dans (*) ?

Oui. Tu peux tenter une recherche sur "algorithme de Babylone" ou "suite
de Héron".

Yannis.

[Anonyme]

Bonjour,
un=(1/2)*(un + a/un), a >0, converge vers V(a) (même démo que pour a=2)
Pour la vitesse de convergence, toute suite extraite converge plus
rapidement que la suite de base... c'est une approche posible.
--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

On Mon, 2 May 2005 18:26:44 +0200, "bob" wrote:

>notation : V(x) =racine carrée de x
>voila dans un exo on cherche à approximer V(2) .pour cela on nous donne la
>suite (un) défini par u0=1 et un=(1/2)*(un+ (2/un) ).on a montrer que un
>est décroissante compris entre V(2) et 3/2 et u0et enfin /un-V(2)/
>ma question est la suite .la méthode de cette énoncé se généralise -t-elle à
>d'autres racines carrées.
en fait cette méthode est la méthode de Newton ou de la tangente pour
résoudre f(x)=0
qui utilise l'itération
x_(n+1)=x_n-f(x_n)/f'(x_n)

x_(n+1) est l'abscisse du point d'intersection de Cf
avec sa tangente au point d'abscisse x_n

pour f(x)=x^2-a ; a>0 a'=rac(a)
cela donne
x_(n+1)=x_n-(x_n^2-a)/(2*x_n)=(x_n+a/x_n)/2
et si a=2 on retrouve ton itération

>et peut-on améliorer l'erreur de méthodes dans (*) ?

>merci d'avance.
>
>

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

Salut à tous,
Pour la petite histoire, le texte de Héron est donné dans l'excellent
Histoire d'algorithme, publié chez Belin.
Pour calculer sqrt(a); Héron part d'une valeur approché par excès (u); il
fabrique une valeur approchée par défaut (a/u); en faisant la moyenne des
deux, on obtient de nouveau une valeur approchée par excès... Rien n'empêche
de poursuivre!
Par ailleurs, l'algorithme lui-même est sûrement bien plus ancien encore que
cela, puisqu'on le nomme parfois aussi algorithme de Babylone.
Le lien vers le texte de Héron:
[url="http://capesinterne.free.fr/ecrit/heron-texte.pdf"]http://capesinterne.free.fr/ecrit/heron-texte.pdf[/url]
Bonne journée,
Nestor Alambic
[url="http://capesinterne.free.fr"]http://capesinterne.free.fr[/url]

[Anonyme]

On Tue, 3 May 2005 08:32:22 +0200, "Nestor Alambic"
wrote:

>Par ailleurs, l'algorithme lui-même est sûrement bien plus ancien encore que
>cela, puisqu'on le nomme parfois aussi algorithme de Babylone.

Les Babyloniens, vers 1900 avant JC, disposaient de tables de carrés,
de cubes, et de puissances. Ils connaissaient également une valeur
approchée de sqrt(2).

Une tablette (YBC 7289) contient un schéma présentant un carré de côté
30, avec, en base sexagésimale, la valeur 1;24;51;10, soit 1+ 24/60 +
51/60^2 + 10/60^3 soit 1,414213, ce qui est le résultat correct de
sqrt(2) pour cette précision.
On peut voir cette tablette à
http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html

Il apparaît aussi sur la tablette la valeur 42;25;35. Or, si 30 est la
longueur du côté du carré, alors la longueur de la diagonale, avec la
précision donnée est 42 + 25/60 + 35/60^2. Il est important de noter
que la tablette suppose nécessairement connue le théorème de Pythagore
1400 avant ce dernier, et que la précision du résultat dépasse ce
qu'on aurait pu obtenir par simple mesure. Le résultat provient donc
d'un calcul.

Un algorithme possible pour calculer la racine carrée approchée d'un
nombre a consiste à prendre une valeur approchée b de a , puis à
calculer 1/2* (b + a/b). Cette méthode est citée par Héron
d'Alexandrie (Ier siècle après JC) qui propose même de l'itérer.

Or la valeur indiquée plus haut sur la tablette babylonienne est la
valeur approchée de sqrt(2) obtenue par la méthode Héron à partir de
1;25 (soit 1 + 25/60). La valeur 1;25 apparaît elle-même dans la
tablette AO 6484, comme facteur par lequel il faut multiplier le côté
du carré pour obtenir la diagonale, et elle peut elle-même être
obtenue de la même façon à partir de 3/2, obtenu lui-même à partir de
1. La tablette VAT 6598 donne un algorithme identique à celui de
Théon.