Suite de Fibonacci

[t.itou29]

Bonjour,
Je n'arrive pas à un finir un exercice
désigne la suite de Fibonacci, a le nombre d'or et b .
J'ai prouvé que et il faut déduire que et je n'y arrive pas. Merci de m'aider.

[Sourire_banane]

Salut,

Bonjour,
Je n'arrive pas à un finir un exercice
désigne la suite de Fibonacci, a le nombre d'or et b .
J'ai prouvé que et il faut déduire que et je n'y arrive pas. Merci de m'aider.

On le fait par récurrence.

[t.itou29]

Salut,

On le fait par récurrence.

Salut,
Merci je vais essayer.

[t.itou29]

Je vois pas trop comment faire par recurrence, une piste ?

[fma]

Une piste ? Voilà la relation qui donne les nombres d'or

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%28%281%2B%28%284%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%2F2%29%5En%29-%28%28%281-%28%284%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%2F2%29%5En%29%29%2F%28%284%2B1%29%5E1%2F2%29

[t.itou29]

Une piste ? Voilà la relation qui donne les nombres d'or

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%28%281%2B%28%284%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%2F2%29%5En%29-%28%28%281-%28%284%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%2F2%29%5En%29%29%2F%28%284%2B1%29%5E1%2F2%29

En remplaçant a et b par leurs valeurs c'est la même formule, mais à partir de cette formule je n'arrive pas à déduire l'encadrement.

[fma]

Sinon une étude sérieuse ici :

http://fred.elie.free.fr/nombre_d_or_et_fibonacci.pdf

[Archytas]

Bonjour,
Je n'arrive pas à un finir un exercice
désigne la suite de Fibonacci, a le nombre d'or et b .
J'ai prouvé que et il faut déduire que et je n'y arrive pas. Merci de m'aider.

Salut,
On appelle c = 1-a ; à partir de ta formule (grâce à une identité remarquable) tu peut montrer que ainsi avec un changement de variable (j=i-1) puis en faisant la réciproque de l'identité remarquable précédente on a il suffit de remarquer que ac = -1 et que a est plus grand que c en valeur absolue. Ainsi le membre de doite est négatif d'où . Au passage ça donne une relation de récurrence sauf erreur de calcul bien sûr !

[t.itou29]

Salut,
On appelle c = 1-a ; à partir de ta formule (grâce à une identité remarquable) tu peut montrer que ainsi avec un changement de variable (j=i-1) puis en faisant la réciproque de l'identité remarquable précédente on a il suffit de remarquer que ac = -1 et que a est plus grand que c en valeur absolue. Ainsi le membre de doite est négatif d'où . Au passage ça donne une relation de récurrence sauf erreur de calcul bien sûr !

Merci mais c'est un peu compliqué, il n'y aurait pas plus simple ? (Je cherche toujours!)

[Archytas]

Merci mais c'est un peu compliqué, il n'y aurait pas plus simple ? (Je cherche toujours!)

Bin pour moi le plus simple ça reste la récurrence comme ça a été proposé. Tu initialises à n=2 et n=3 tu suppose la propriété vraie à un rang n et n-1 tu sommes les inégalités et tu te sers du fais que !

[fma]

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-266004.html

[t.itou29]

Bin pour moi le plus simple ça reste la récurrence comme ça a été proposé. Tu initialises à n=2 et n=3 tu suppose la propriété vraie à un rang n et n-1 tu sommes les inégalités et tu te sers du fais que !

Merci, est-ce bon ? En supposant la propriété vraie au rang n et n-1 on a

[Archytas]

Merci, est-ce bon ? En supposant la propriété vraie au rang n et n-1 on a

C'est correct !