Suite de Fibonacci

[Georges Leroy]

Bonsoir à tous! C'est les vacances mais pas le droit de se la couler douce! J'ai un DM qui me pose un peu de soucis. La première partie je l'ai faite sans problème, mais la seconde :mur:

Alors voilà : La suite de Fibonacci est la suite récurrente linéaire d'ordre 2 définie par

et

1_Calculer les 10 premiers termes de la suite (Fn)

Pas de problème pour ça :we:

2_En utilisant la section 1 démontrer la formule de Binet

-

[Georges Leroy]

Bonsoir à tous! C'est les vacances mais pas le droit de se la couler douce! J'ai un DM qui me pose un peu de soucis. La première partie je l'ai faite sans problème, mais la seconde :mur:

Alors voilà : La suite de Fibonacci est la suite récurrente linéaire d'ordre 2 définie par

et

1_Calculer les 10 premiers termes de la suite (Fn)

Pas de problème pour ça :we:

2_En utilisant la section 1 démontrer la formule de Binet

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Je vous donne les questions de la section 1 si ça peut vous aider :

1)Soit q différente de 0. Montrer que si la suite géométrique (qn) vérifie la même relation de récurrence que (un) alors q est solution de l'équation du second degré: x²=ax+b appelée équation caractéristique.

2)On suppose que cette équation possède une unique solution q0 (racine double)
(a) Montrer que
(b) On pose alors pour tout n . Démontrer alors que
(c) En deduire que (vn) est une suite arithmétique.
(d) En deduire enfin qu'il existe des réels et tels que
(e) Application: donner la forme explicite de la suite u definie par et

3)On suppose maintenant que l'équation caractéristique possède deux solutions réelles distinctes et
(a) Montrer qu'il existe un seul couple de réels vérifiant le système:


(b) Montrer alors que
Indication: on montrera que cela est vrai pour n=0 et n=1. On supposera ensuite que si cela est vrai aux rangs n et n+1 (pour un certain n) alors cela est encore vrai au rang n+2. On remarque ici une variante dans le raisonnement par récurrence, on l'appelle le principe de récurrence forte.


désolé du double post, mais j'ai pas l'habitude d'utiliser les commandes, et je peux pas modifier :triste:

[arnaud32]

comment est definie u dans la partie 1

[Georges Leroy]

Tout d'abord, merci d'avoir répondu!

Et bien,

[arnaud32]

tu as fait quoi pour le moment?

[Georges Leroy]

Ou bien, au début de l'énoncé il est dit



Et bien j'ai fait toute la premiere partie, mais c'est à la question

que je bloque, je n'y arrive pas :triste:

[arnaud32]

tu suite , c'est un cas particulier de ce que tu viens de monter non?
avec a=b=1

[Georges Leroy]

Oui c'est ça ! J'ai réussi à trouver les racines en utilisant l'équation caractéristique x² = x + 1

donc j'ai et

[Georges Leroy]

Je pensais utiliser la formule
Car on a déjà les deux racines, mais il faut que je trouve et
Mais je n'arrive pas à les calculer :triste:
On a le système suivant dans la première partie de l'énoncé :